Sylvesters sats är en matematisk sats uppkallad efter matematikern James Joseph Sylvester som lyder Om man har en ändlig punktmängd i planet, , där alla punkter inte ligger längs en linje så finns det en linje som skär exakt två punkter.

BevisRedigera

 
Figur 1: Vårt valda par  
 
Figur 2: Motsägelse, då  

Bildar mängden   som är mängden av alla linjer i planet som skär minst två punkter i  . Tar sedan ett par  , där   är en punkt i  ,   är en linje i   och där   inte går igenom  , så att avståndet mellan   och   är det minsta möjliga.

Påstår att om vi valt rätt   och   enligt ovan så kommer   att skära exakt två punkter och satsen skulle därmed vara uppfylld.

Om   inte skär två punkter så måste den skära fler punkter i  . Om vi väljer   och   där   går genom exempelvis tre punkter, se figur 1. Då uppstår en motsägelse i och med att om vi istället tar linjen   och punkten   enligt figur två så blir avståndet   större än avståndet   och därmed uppfyller inte   kravet på att de skulle ha minsta möjliga avstånd mellan dem.