Öppna huvudmenyn

Rogers–Ramanujans kedjebråk

(Omdirigerad från Rogers-Ramanujans kedjebråk)

Inom matematiken är Rogers–Ramanujans kedjebråk ett kedjebråk upptäckt av Rogers 1894 och oberoende av Srinivasa Ramanujan som är nära relaterad till Rogers–Ramanujan-identiteterna. Den kan skrivas i sluten form för flera olika argument.

DefinitionRedigera

Givet funktionerna i Rogers–Ramanujan-identiteterna,

 

och

 


( A003114 och  A003106) där   betecknar den oändliga q-Pochhammersymbolen, då är Rogers–Ramanujans kedjebråk

 

Modulära funktionerRedigera

Om q = e2πiτ är   och  , såsom även deras kvot  , modulära funktioner av τ. Eftersom de har heltalskoefficienter, följer det av teorin komplex multiplikation att deras värden för imaginära kvadratisk irrationella τ är algebraiska tal som kan evalueras explicit.

ExempelRedigera

 


 

där   är det gyllene snittet.

Relation till modulära formerRedigera

Rogers–Ramanujans kedjebråk är relaterad till Dedekinds etafunktion, en modulär form av vikt 1/2, enligt[1]

 
 

Relation till j-invariantenRedigera

En formel för j-invarianten är

 

där

 

Genom att eliminera eta-kvoten kan j(τ) skrivas med hjälp av   som

 


 

där täljaren och nämnaren är polynominvarianter av ikosaedern. Genom att använda modulära ekvationerna mellan R(q) och R(q5) kan man bevisa att

 

som faktiskt är j-invarianten av den elliptiska kurvan

 

parameteriserad av icke-spetspunktarna av den modulära kurvan  .

FunktionalekvationRedigera

Vi använder beteckningen  q = e2πiτ. Medan andra modulära former som j-invarianten satisfierar

 

och Dedekinds etafunktion satsifierar

 

innehåller funktionalekvationen för Rogers–Ramanujans kedjebråk[2] det gyllene snittet  :

 

Modulära ekvationerRedigera

Det finns flera intressanta modulära ekvationer mellan   och  . Några eleganta sådana för små primtal n är:[3]

Låt u = R(q) och v = R(q2). Då är  


Låt u = R(q) och v = R(q3). Då är  


Låt u = R(q) och v = R(q5). Då är  


Låt u = R(q) och v = R(q11) Då är  


För n = 5, notera att  

Andra resultatRedigera

Ramanujan upptäckte flera intressanta resultat om R(q).[4] Låt  ,   och   vara det gyllene snittet.

Om   är  

Om   är  

Potenserna av R(q) kan skrivas på intressanta sätt. För dess kub är

 

För dess femte potens, låt  , då är

 

KällorRedigera

Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, Rogers–Ramanujan continued fraction, 8 maj 2014.
  1. ^ Duke, W. "Continued Fractions and Modular Functions", http://www.math.ucla.edu/~wdduke/preprints/bams4.pdf
  2. ^ Duke, W. "Continued Fractions and Modular Functions" (p.9)
  3. ^ Berndt, B. et al. "The Rogers–Ramanujan Continued Fraction", http://www.math.uiuc.edu/~berndt/articles/rrcf.pdf
  4. ^ Berndt, B. et al. "The Rogers–Ramanujan Continued Fraction"

Externa länkarRedigera