Riemann–Siegels thetafunktion

Inom matematiken är Riemann–Siegels thetafunktion en speciell funktion definierad med hjälp av gammafunktionen som

$\theta (t)=\arg \left(\Gamma \left({\frac {2it+1}{4}}\right)\right)-{\frac {\log \pi }{2}}t$

för reella värden på t. Här väjs argumentet så att man får en kontinuerlig funktion och så att $\theta (0)=0$.

Den har den asymptotiska expansionen

$\theta (t)\sim {\frac {t}{2}}\log {\frac {t}{2\pi }}-{\frac {t}{2}}-{\frac {\pi }{8}}+{\frac {1}{48t}}+{\frac {7}{5760t^{3}}}+\cdots$

som inte konvergerar, men vars första termer ger en god approximation för $t\gg 1$. Dess Taylorserie runt 0 konvergerar för $|t|<1/2$ och ges av

$\theta (t)=-{\frac {t}{2}}\log \pi +\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}\psi ^{(2k)}\left({\frac {1}{4}}\right)}{(2k+1)!}}\left({\frac {t}{2}}\right)^{2k+1}$

där $\psi ^{(2k)}$ betecknar polygammafunktionen av ordning $2k$. Riemann–Siegels thetafunktion är viktig i teorin av Riemanns zetafunktion eftersom den kan rotera zetafunktionen så att den blir den reellvärda Z-funktionen vid den kritiska linjen $s=1/2+it$.

Källor

Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, Riemann–Siegel theta function, 18 maj 2014.

• Edwards, H. M. (1974), Riemann's Zeta Function, New York: Dover Publications, ISBN 978-0-486-41740-0 
• Gram, J. P. (1903), ”Note sur les zéros de la fonction ζ(s) de Riemann”, Acta Mathematica 27 (1): 289–304, doi:10.1007/BF02421310 

Externa länkar

• Weisstein, Eric W., "Riemann-Siegel Functions", MathWorld. (engelska)
• Wolfram Research – Riemann-Siegel Theta function (innehåller funktionens kurva och värden)