Relativistiskt system

Inom matematiken definieras icke-autonomt system av ordinära differentialekvationer som en dynamisk ekvation på ett slätt fiberknippe $Q\to \mathbb {R}$ över $\mathbb {R}$. Exempelvis är det ett fall av icke-autonom mekanik, men inte relativistisk mekanik. För att beskriva relativistisk mekanik bör ett system av ordinära differentialekvationer på en slät mångfald $Q$ vars fibration över $\mathbb {R}$ inte är fixt övervägas. Ett sådant system antar transformationer av en koordinat $t$ på $\mathbb {R}$ beroende på andra koordinater på $Q$. Därför kallas det för relativistiskt system. I synnerhet är speciell relativitet på Minkowskirummet $Q=\mathbb {R} ^{4}$ av denna typ.

Eftersom ett konfigurationsrum $Q$ av ett relativistiskt system inte har någon fördelaktig fibration över $\mathbb {R}$, är ett hastighetsrum av relativistiskt system en första ordningens strålmångfald $J_{1}^{1}Q$ av endimensionella undermångfalder av $Q$. Begreppet strålundermångfald är en generalisering av sektionsstrålar av fiberknippen som används av kovariant klassisk kroppteori och icke-autonom mekanik. En första ordningens strålknippe $J_{1}^{1}Q\to Q$ är projektiv och – i enlighet med speciella relativitetsteorins terminologi – kan fibrer tänkas som ett absolut hastighetsrum i ett relativistiskt system. Givet koordinaterna på $(q^{0},q^{i})$ på $Q$, är en första ordningens strålångfald $J_{1}^{1}Q$ tillhandahållen med de justerade koordinaterna $(q^{0},q^{i},q_{0}^{i})$ som har övergångsfunktioner

$q'^{0}=q'^{0}(q^{0},q^{k}),\quad q'^{i}=q'^{i}(q^{0},q^{k}),\quad {q'}_{0}^{i}=\left({\frac {\partial q'^{i}}{\partial q^{j}}}q_{0}^{j}+{\frac {\partial q'^{i}}{\partial q^{0}}}\right)\left({\frac {\partial q'^{0}}{\partial q^{j}}}q_{0}^{j}+{\frac {\partial q'^{0}}{\partial q^{0}}}\right)^{-1}.$

De relativistiska hastigheterna i ett relativistiskt system representeras av element av ett fiberknippe $\mathbb {R} \times TQ$, koordinerad av $(\tau ,q^{\lambda },a_{\tau }^{\lambda })$, där $TQ$ är tangentknippet av $Q$. Då tolkas en generisk rörelseekvation av ett relativistiskt system i termer av relativistiska hastigheter av:

$\left({\frac {\partial _{\lambda }G_{\mu \alpha _{2}\ldots \alpha _{2N}}}{2N}}-\partial _{\mu }G_{\lambda \alpha _{2}\ldots \alpha _{2N}}\right)q_{\tau }^{\mu }q_{\tau }^{\alpha _{2}}\cdots q_{\tau }^{\alpha _{2N}}-(2N-1)G_{\lambda \mu \alpha _{3}\ldots \alpha _{2N}}q_{\tau \tau }^{\mu }q_{\tau }^{\alpha _{3}}\cdots q_{\tau }^{\alpha _{2N}}+F_{\lambda \mu }q_{\tau }^{\mu }=0,$

$G_{\alpha _{1}\ldots \alpha _{2N}}q_{\tau }^{\alpha _{1}}\cdots q_{\tau }^{\alpha _{2N}}=1.$

Exempelvis, om $Q$ är Minkowskirummet med en Minkowskimetrik $G_{\mu \nu }$, är detta en ekvation av en relativistisk laddning i närvaro av ett elektromagnetiskt fält.

Källor

• Krasil'shchik, I. S., Vinogradov, A. M., [et al.], "Symmetries and conservation laws for differential equations of mathematical physics", Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1999, ISBN 0-8218-0958-X.
• Giachetta, G., Mangiarotti, L., Sardanashvily, G., Geometric Formulation of Classical and Quantum Mechanics (World Scientific, 2010) ISBN 981-4313-72-6, (se också arXiv: 1005.1212).

Se även

• Speciella relativitetsteorin