Tsiolkovskijs raketekvation

Tsiolkovskijs raketekvation, uppkallad efter Konstantin Tsiolkovskij som var en av flera som självständigt formulerade ekvationen, behandlar funktionen hos en raket: en farkost som kan accelerera sig själv genom att stöta ifrån sig delar av sin egen massa (reaktionsmassa) i hög fart i motsatt håll.

Raketekvationen lyder som följer: för varje raketmanöver, eller sekvens av raketmanövrar gäller:

$\Delta v=v_{e}\ln {\frac {m_{0}}{m_{1}}}$

eller

$m_{1}=m_{0}e^{-\Delta v/v_{e}}$

som är likvärdigt med:

$m_{0}=m_{1}e^{\Delta v/v_{e}}$

där $m_{0}$ är den ursprungliga massan, $m_{1}$ är massan efter manövern/manövrarna, och $v_{e}$ är hastigheten hos raketens avgas i relation till raketen.

$1-{\frac {m_{1}}{m_{0}}}=1-e^{-\Delta v/v_{e}}$ är den del av ursprungsmassan som används som reaktionsmassa.

Historik

Raketekvationen härleddes självständigt av Konstantin Tsiolkovskij mot slutet av 1800-talet och är allmänt förknippad med hans namn. Dock visar en nyligen upptäckt pamflett "A Treatise on the Motion of Rockets" av William Moore att den tidigaste kända härledningen gjordes 1813 vid Royal Military Academy i Woolwich i England. Ekvationen tillämpades då för vapenforskning.

Härledning

Betrakta följande system:

I denna härledning syftar "raketen" på raketen samt allt icke-förbrukat bränsle.

Newtons andra lag relaterar sambandet mellan alla externa krafter ($F_{i}\,$) till förändringen i rörelsemoment för hela systemet enligt följande:

$\sum F_{i}=\lim _{\Delta t\to 0}{\frac {P_{2}-P_{1}}{\Delta t}}$

där $P_{1}\,$är rörelsemängden för raketen vid tiden $t=0$:

$P_{1}=\left({m+\Delta m}\right)V$

och $P_{2}\,$ är rörelsemänden för raketen och det förbrukade bränslet vid tiden $t=\Delta t\,$:

$P_{2}=m\left(V+\Delta V\right)+\Delta mV_{\text{e}}$

och där, ur en observatörs perspektiv:

$V\,$ är raketens hastighet vid tiden $t=0$

$V+\Delta V\,$är raketens hastighet vid tiden $t=\Delta t\,$

$V_{\text{e}}\,$ är hastigheten av den massa som utgör det förbrända bränslet under tiden $\Delta t\,$

$m+\Delta m\,$ är raketens massa vid tiden $t=0$

$m\,$ är raketens massa vid tiden $t=\Delta t\,$

Hastigheten av det förbrända bränslet $V_{\text{e}}$ i observatörens perspektiv är relaterat till hastigheten av det förbrända bränslet raketens perspektiv $v_{\text{e}}$ genom (eftersom det förbrända bränslets hastighet är i negativ riktning)

$V_{\text{e}}=V-v_{\text{e}}$

Löser vi detta får vi:

$P_{2}-P_{1}=m\Delta V-v_{\text{e}}\Delta m\,$

och, genom att skriva $dm=-\Delta m$, eftersom att skjuta ut en positiv $\Delta m$ resulterar i minskad massa,

$\sum F_{i}=m{\frac {dV}{dt}}+v_{\text{e}}{\frac {dm}{dt}}$

I och med att det inte finns några externa krafter har vi $\sum F_{i}=0$ (Bevarande av rörelsemänd) och

$m{\frac {dV}{dt}}=-v_{\text{e}}{\frac {dm}{dt}}$

Om vi antar att $v_{\text{e}}\,$är konstant, så kan uttrycket ovan integreras:

$\Delta V=v_{\text{e}}\ln {\frac {m_{0}}{m_{1}}}$

där $m_{0}$ är den initiala massan, bränslet inkluderat, $m_{1}$är den slutgiltiga massan och $v_{\text{e}}$är hastigheten av det förbrända bränslet ur raketens perspektiv.