Inom matematiken är Polylogaritmen en speciell funktion som definieras som
Speciella värden
redigera
1. Då s är ett negativt heltal är polylogaritmen en rationell funktion av z:
-
-
-
-
-
-
och i allmänhet
-
-
där S(n,k) är Stirlingtalen av andra ordningen .
2.
-
-
-
där ζ är Riemanns zetafunktion. Inga liknande formler är kända för högre ordningar, men några något mer komplicerade formler är
-
som innehåller den alternerande dubbelsumman . I allmänhet gäller för heltal n ≥ 2
-
där ζ(s1, ..., sk) är multipel-zetafunktionen, exempelvis
-
3. Direkt ur polylogaritmens definition följer att
-
där ζ är Hurwitzs zetafunktion.
Integralrepresentationer
redigera
För alla komplexa s och z gäller
-
Relation till andra funktioner
redigera
-
-
- och
-
-
-
-
utom då s=0,1,2,...
-
där 0 ≤ Re(x) < 1 om Im(x) ≥ 0, och 0 < Re(x) ≤ 1 om Im(x) < 0.
-
-
-
-
- Av det här följer:
-
-
-
-
-
-
-
-
-
Definiera . Då gäller
-
och
-