Öppna huvudmenyn

Inom talteori är en Poincaréserie en matematisk serie som generaliserar de klassiska thetaserierna som associeras till en godtycklig diskret grupp av symmetrier av en komplex domän, möjligen av flera komplexa variabler. Speciellt generaliserar de de klassiska Eisensteinserierna. Poincaréserier är uppkallade efter Henri Poincaré.

Om Γ är en ändlig grupp med verkan på en domän D och H(z) är en godtycklig meromorfisk funktion över D kan man definiera en automorfisk funktion enligt

Men om Γ är en diskret grupp måste andra faktorer introduceras för att garantera konvergens av serien. Till detta ändamål definieras en Poincaréserie som en serie av formen

där Jγ är Jacobideterminanten av gruppelementet γ[1] och asterisken betyder att summeringen går enbart över sidoklassrepresentativer som ger skilda termer i serien.

Den klassiska Poincaréserien av vikt 2k av en Fuchsisk grupp Γ definieras som serien

där summeringen går över alla kongruensklasser av fraktionella linjära transformationer

som tillhör Γ. Genom att välja H som en karaktär av den cykliska gruppen av ordning n får man den så kallade Poincaréserien av ordning n:

Den senare Poincaréseriem konvergerar absolut och likformigt i kompakta mängder (i övre planhalvan) och är en modulär form av vikt 2k för Γ. Notera att då Γ är den fulla modulära gruppen och n = 0 får man Eisensteinserien av vikt 2k. I allmänhet är Poincaréserien för n ≥ 1 en spetsform.

KällorRedigera

Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, Poincaré series (modular form), 29 juni 2014.
  1. ^ Eller en mer allmän faktor av automorfi såsom diskuteras i Kollár 1995, §5.2.