Den negativa binomialfördelningen är en diskret sannolikhetsfördelning av antalet framgångar eller antalet försök i en sekvens av oberoende och identiskt fördelade Bernoulliförsök innan ett specificerat (icke-slumpmässigt) antal misslyckanden (betecknat r ) inträffar. [1]

Sannoliketsfunktionen för den negativa binomialfördelningen för r=10, p=0,2 (blå), p=0,5 (grön) och p=0,8 (rött).

ExempelRedigera

Vi kan till exempel definiera att när vi kastar en tärning och får en sexa är det en framgång, annars ett misslyckande. Sedan väljer vi r lika med 3. Vi kastar sedan tärningen upprepade gånger tills siffran 6 visas för tredje gången. I ett sådant fall är sannolikhetsfördelningen av antalet misslyckanden (annat än sexa) som uppträdde en negativ binomialfördelning.

SannolikhetsfunktionRedigera

Den negativa binomialfördelningen har följande sannolikhetsfunktion:

 

där k är antalet misslyckade försök. Parametrarna är r, antal lyckade försök, och p, sannolikheten för ett lyckat försök. Binomialkoefficienten kan skrivas om som:

 

Ett annat sätt är att utnyttja den så kallade negativa binomialkoefficienten:

 

Naturligtvis kan vi räkna antalet försök oberoende om de är lyckade eller inte:[1]

 

Alternativ parametriseringRedigera

Den negativa binomialfördelningen kan skrivas med följande sannolikhetsfunktion i stället:

 

där k är antalet misslyckade försök. Parametrarna är r, antal lyckade försök, och μ, väntevärdet. Då blir  

Väntevärde och variansRedigera

Väntevärdet för antal misslyckanden är  . Om vi räknar alla försök blir väntevärdet  .[1]

Variansen är:  .[1]

GeneraliseringRedigera

Parametern r kan också vara vilket positivt reellt tal som helst. Då får fakulteterna ersättas med gammafunktionen. Ibland pratar man om Pascalfördelningen (efter Blaise Pascal) då r är ett heltal och om Polyafördelningen (för George Pólya) för reella r.

Se ävenRedigera

KällorRedigera

  1. ^ [a b c d] Rudemo, Mats; Lennart Råde (1970). Sannolikhetslära och statistik med tekniska tillämpningar: del 1. Stockholm: Biblioteksförlaget. sid. 142 

Externa länkarRedigera

  Matematikportalen – portalen för matematik på svenskspråkiga Wikipedia.