Inom matematiken är Mittag-Leffler-funktionen är en speciell funktion uppkallad efter den svenske matematikern Gösta Mittag-Leffler . Den definieras som serien
E
α
,
β
(
z
)
=
∑
k
=
0
∞
z
k
Γ
(
α
k
+
β
)
{\displaystyle E_{\alpha ,\beta }(z)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {z^{k}}{\Gamma (\alpha k+\beta )}}}
där Γ betecknar gammafunktionen . Mittag-Leffler-funktionen är en typ av generaliserad funktion som kan användas för att uttrycka flera vanliga speciella funktioner . Exempelvis är
E
0
,
1
(
z
)
=
1
1
−
z
{\displaystyle E_{0,1}(z)={\frac {1}{1-z}}}
geometrisk serie )
E
1
,
1
(
z
)
=
e
z
{\displaystyle E_{1,1}(z)=e^{z}}
exponentialfunktionen )
E
2
,
1
(
z
)
=
cosh
(
z
)
{\displaystyle E_{2,1}(z)=\cosh \left({\sqrt {z}}\right)}
hyperbolisk funktion )
E
1
/
2
,
1
(
z
)
=
exp
(
z
2
)
erfc
(
−
z
)
{\displaystyle E_{1/2,1}(z)=\exp(z^{2})\operatorname {erfc} (-z)}
felfunktionen )Relation med Fransén–Robinsons konstant
redigera
Fransén–Robinsons konstant kan uttryckas med hjälp av Mittag-Lefflerfunktionen som
F
=
lim
α
→
0
α
E
α
,
0
(
1
)
.
{\displaystyle F=\lim _{\alpha \to 0}\alpha E_{\alpha ,0}(1).}
