Mertensfunktionen

aritmetisk funktion

Mertensfunktionen är inom talteorin en aritmetisk funktion definierad enligt:

där μ(n) är möbiusfunktionen.

Eftersom möbiusfunktionen bara antar värden -1, 0 och 1 kan M(n) aldrig vara större än n

RepresentationerRedigera

IntegralrepresentationerRedigera

Genom att använda Eulerprodukten får man

 

där   är Riemanns zetafunktion och produkten är över alla primtal. Sedan får man med Perrons formel

 

där C är en sluten kurva som går runt alla rötter av  

Som ett korollarium får man Mellintransformationen

 

som gäller för  

Som en summa över FareyfraktionerRedigera

En annan formel för Mertensfunktionen är

    där       är Fareyföljden av ordning n.

Denna formel används i beviset av Franel–Landaus sats.

Relation till andra funktionerRedigera

Mertens gav en relation mellan Mertensfunktionen och Tjebysjovs andra funktion:

 

Se ävenRedigera