Mayer–Vietoris följd

Inom matematiken, speciellt inom algebraisk topologi och homologiteori, är Mayer–Vietoris följd ett algebraiskt verktyg som förenklar beräkningen av algebraiska invarianter av topologiska rum kända som deras homologi- och kohomologigrupper. Resultatet bevisades av två österrikiska matematiker, Walther Mayer och Leopold Vietoris. Metoden består av att dela ett rum i delrum för vilka homologi- och kohomologigrupperna är lättare att beräkna. Denna följd relaterar (ko)homologigrupperna av delrummen. Den är en naturlig lång exakt följd som består av (ko)homologigrupper av hela rummet, direkta summan av (ko)homologigrupperna av delrummen och (ko)homologigrupperna av delgruppernas snitt.

Mayer–Vietoris följd gäller för ett flertal kohomologi- och homologiteorier, bland annat för singulär homologi och singulär kohomologi. I allmänhet gäller den för de teorier som satisfierar Eilenberg–Steenrodaxiomen, och den har variationer för både reducerad och relativ (ko)homologi. Eftersom (ko)homologin av de flesta rum inte kan beräknas direkt från deras definitioner används istället metoder som Mayer–Vietoris följd i hopp om att få partiell information. Många rum inom topologi är sammansatta av enklare rum. Genom att noga välja två delrum med enklare (ko)homologi kan man i bästa fall beräkna hela rummets (ko)homologi. I denna aspekt är Mayer–Vietoris följd analog till Seifert–van Kampens sats för fundamentalgruppen, och en precis relation existerar för homologin i dimension ett.

Källor

Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, Mayer–Vietoris sequence, 4 juni 2014.

• Bott, Raoul; Tu, Loring W. (1982), Differential Forms in Algebraic Topology, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90613-3 .

• Corry, Leo (2004), Modern Algebra and the Rise of Mathematical Structures, Birkhäuser, s. 345, ISBN 3-7643-7002-5 .

• Dieudonné, Jean (1989), A History of Algebraic and Differential Topology 1900–1960, Birkhäuser, s. 39, ISBN 0-8176-3388-X .

• Dimca, Alexandru (2004), Sheaves in topology, Universitext, Berlin: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-20665-1 

• Eilenberg, Samuel; Steenrod, Norman (1952), Foundations of Algebraic Topology, Princeton University Press, ISBN 978-0-691-07965-3 .

• Hatcher, Allen (2002), Algebraic Topology, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-79540-1, http://www.math.cornell.edu/%7Ehatcher/AT/ATpage.html .

• Hirzebruch, Friedrich (1999), ”Emmy Noether and Topology”, i Teicher, M., The Heritage of Emmy Noether, Israel Mathematical Conference Proceedings, Bar-Ilan University/American Mathematical Society/Oxford University Press, s. 61–63, ISBN 978-0-19-851045-1, OCLC 223099225 .

• Kōno, Akira; Tamaki, Dai (2006) [2002], Generalized cohomology, Iwanami Series in Modern Mathematics, Translations of Mathematical Monographs, "230" (Translated from the 2002 Japanese edition by Tamaki), Providence, RI: American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-3514-2 

• Massey, William (1984), Algebraic Topology: An Introduction, Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90271-5 .

• Mayer, Walther (1929), ”Über abstrakte Topologie”, Monatshefte für Mathematik 36 (1): 1–42, doi:10.1007/BF02307601, ISSN 0026-9255, https://link.springer.com/article/10.1007%2FBF02307601 . (tyska)

• Spanier, Edwin (1966), Algebraic Topology, Springer-Verlag, ISBN 0-387-94426-5 .

• Verdier, Jean-Louis (1972), ”Cohomologie dans les topos”, i Artin, Michael; Grothendieck, Alexander; Verdier, Jean-Louis (på french), Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie – 1963–64 – Théorie des topos et cohomologie étale des schémas – (SGA 4) – Tome 2, Lecture Notes in Mathematics, "270", Berlin; Heidelberg: Springer-Verlag, s. 1, doi:10.1007/BFb0061320, ISBN 978-3-540-06012-3 

• Vietoris, Leopold (1930), ”Über die Homologiegruppen der Vereinigung zweier Komplexe”, Monatshefte für Mathematik 37: 159–62, doi:10.1007/BF01696765 . (tyska)