Markovkedja

En Markovkedja är inom matematiken en tidsdiskret stokastisk process med Markovegenskapen, det vill säga att processens förlopp kan bestämmas utifrån dess befintliga tillstånd utan kännedom om det förflutna. En Markovkedja som är tidskontinuerlig kallas en Markovprocess.

En enkel Markovkedja med två tillstånd A och E med olika sannolikheter att vara kvar i respektive tillstånd.

En Markovkedja som antar ändligt många värden kan representeras av en övergångsmatris. Givet en sannolikhetsvektor, erhålles sannolikhetsvektorn för nästa steg i kedjan av multiplikation med övergångsmatrisen. Flera steg kan beräknas genom exponentiering av övergångsmatrisen. Det är även möjligt att beräkna processens stationära fördelning, det vill säga vad som händer då processen fortsätter i oändligheten, med hjälp av egenvektorer.

Markovkedjor har många tillämpningsområden, bland annat för att beskriva befolkningsprocesser och inom bioinformatik. Resultaten som ligger till grund för teorin om Markovkedjor framlades 1906 av Andrej Markov.

Matematisk modell

Tillstånd och övergångar

Antag att den process vi vill beskriva kan anta n olika tillstånd, L₁, L₂, ... L_n. Vi anger sannolikheten för dess tillstånd vid tidpunkten t i form av en kolumnvektor med n element:

$\mathbf {x} _{t}={\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{n}\end{bmatrix}}$

Elementet x_n är ett tal mellan 0 och 1 som beskriver sannolikheten för att processen befinner sig i tillståndet L_n. Summan av alla element är 1. Om vi med säkerhet vet att processen vid tiden t befinner sig i tillståndet L_k, är x_k = 1 och övriga element 0.

Att processen är stokastisk med Markovegenskapen innebär att vi för varje tillstånd kan ange sannolikheten för att processen ska hoppa till varje annat tillstånd. Sannolikheterna för de enskilda fallen kan ställas upp i en övergångsmatris, som är en kvadratisk matris med dimensionen n × n. Om vi här låter x → y beteckna sannolikheten för en övergång från tillståndet L_x till L_y, har övergångsmatrisen P formen

$P={\begin{bmatrix}1\to 1&2\to 1&\cdots &n\to 1\\1\to 2&2\to 2&\cdots &n\to 2\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\1\to n&2\to n&\cdots &n\to n\\\end{bmatrix}}$

Precis som i en sannolikhetsvektor, är alla element i övergångsmatrisen reella tal mellan 0 och 1, och summan längs en kolumn måste vara 1 (eftersom den totala sannolikheten av varje möjligt utfall av en övergång är 1). Värdena längs diagonalen anger sannolikheterna för att ingen förändring sker under ett steg.

Vi kan nu beräkna sannolikhetsvektorn för tidpunkten t+1 genom att multiplicera sannolikhetsvektorn för tidpunkten t med övergångsmatrisen (observera att operandernas ordning spelar roll, eftersom matrismultiplikation inte är kommutativ):

$\mathbf {x} _{t+1}=P\mathbf {x} _{t}$

Genom att upprepa multiplikationen kan nästföljande sannolikhetsvektor bestämmas. Tillståndet för en tidpunkt t+n godtycklig långt in i framtiden kan beräknas genom att multiplicera x_t med matrisens n:te potens:

$\mathbf {x} _{t+n}=P^{n}\mathbf {x} _{t}.$

Stationär fördelning

Betrakta en Markovkedja med tillstånden 1,2,...,k och övergångsmatrisen P. En vektor $\pi =(\pi _{1},\ldots ,\pi _{k})$ sägs vara en stationär fördelning för Markovkedjan om den uppfyller dels att alla element är större än eller lika med 0, dels att summan av talen $\pi _{1},\ldots ,\pi _{k}$ är lika med 1 och slutligen att produkten av vektorn $\pi$ med övergångsmatrisen P resulterar i $\pi$, dvs. $\pi P=\pi$ så att $\pi$ är en egenvektor med egenvärdet 1.

Exempel

Diagram över en enkel Markovmodell för vädret. I vänstra kolumnen visas en kedja med vackert väder (blått) under den första dagen, i den högra en kedja med dåligt väder (mörkgrått) som utgångspunkt. Bägge processerna fortlöper under tre dagar. I varje övergång bevaras 90% av sannolikheten för vackert väder medan varje andel sannolikhet för dåligt väder övergår till en 50/50 procents chans. I det långa loppet blir sannolikheten för vackert väder ungefär 83%, oberoende av vädret första dagen.

Betrakta följande mycket enkla stokastiska modell för att beskriva vädret:

• Det finns två olika tillstånd: antingen skiner solen, eller så regnar det. Vi betraktar vädret en dag i taget.
• Om solen skiner är det 90% sannolikt att det blir vackert väder också nästa dag.
• Om det regnar är det 50% sannolikt att det fortsätter regna dagen efter.

Modellen beskrivs av följande övergångsmatris:

$P={\begin{bmatrix}0,\!9&0,\!5\\0,\!1&0,\!5\end{bmatrix}}$

Om vi vet att solen skiner under dag 0 (med andra ord att sannolikheten för att solen skiner är 100%, respektive 0% för att det regnar) representeras tillståndet för denna dag av sannolikhetsvektorn

$\mathbf {x} _{0}={\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}}.$

Nu kan det sannolika vädret under dag 1 beräknas genom

$\mathbf {x} _{1}=P\mathbf {x} _{0}={\begin{bmatrix}0,\!9&0,\!5\\0,\!1&0,\!5\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0,\!9\\0,\!1\end{bmatrix}},$

och sannolikheten är alltså 90% att solen skiner även den dagen. På samma sätt kan vädret under dag 2 förutspås genom

$\mathbf {x} _{2}=P\mathbf {x} _{1}=P^{2}\mathbf {x} _{0}={\begin{bmatrix}0,\!9&0,\!5\\0,\!1&0,\!5\end{bmatrix}}^{2}{\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}}\approx {\begin{bmatrix}0,\!86\\0,\!14\end{bmatrix}}.$

Övergångsmatrisen har egenvektorn (normaliserad så att summan av elementen är 1)

${\begin{bmatrix}0,\!833\\0,\!167\end{bmatrix}},$

med tolkningen att 83% av alla dagar i det långa loppet har vackert väder.

Tidsreversibel Markovkedja

Betrakta en stationär ergodisk Markovkedja med övergångssannolikheter P_ij samt stationära sannolikheter π_i. Antag samtidigt att man vid kedjans startpunkt spårar sekvensen av tillstånd bakåt i tiden. Alltså, mer formellt kan man säga att vid startpunkten $n$ betraktar man sekvensen X_n, X_n-1, X_n-2, … . Det visar sig då att den sekvensen av tillstånd i sig själv är en Markovkedja med övergångssannolikheter Q_ij som definieras enligt

${\begin{aligned}Q_{ij}&=P(X_{m}=j|X_{m+1}=i)\\&={\frac {P(X_{m}=j\cap X_{m+1}=i)}{P(X_{m+1}=i)}}\\&={\frac {P(X_{m}=j)P(X_{m+1}=i|X_{m}=j)}{P(X_{m+1}=i)}}\\&={\frac {\pi _{j}P_{ji}}{\pi _{i}}}\end{aligned}}$

Om Q_ij = P_ij gäller för alla i, j så kallar man Markovkedjan för tidsreversibel.

Tillämpningar

Teorin om Markovkedjor kan tillämpas i bland annat vid design av webbplatser. I så fall antas sannolikheten att användaren besöker en webbsida bara bero på vilken sida användaren ser just nu. Genom att statistiskt uppskatta dessa sannolikheter går det att öka användbarheten av webbsidan.

Generaliseringar till flera dimensioner

Huvudartikel: Markovfält

En Markovkedja utvecklar sig i en enda dimension, tiden. Inom bildanalys uppkommer en naturlig generalisering av Markovkedjor till två eller flera dimensioner. För en Markovkedja gäller

$p(x_{j}\,|\,x_{k},\,k\neq j)=p(x_{j}\,|\,x_{j-1},x_{j+1})$.

De två punkterna $x_{j-1}$ och $x_{j+1}$ ligger nära $x_{j}$ och vi definierar grannskapet till $x_{j}$ som:

${\mathcal {N}}_{j}=\{x_{j-1},x_{j+1}\}\,$.

Detta grannskap kan sedan generaliseras till flera dimensioner och för ett Markovfält gäller alltså

$p(x_{i,j}\,|\,x_{k,l},\,(k,j)\neq (i,j))=p(x_{j}\,|\,{\mathcal {N}}_{i,j})$

Referenser

• Introduction to probability models, Sixth edition, Sheldon M. Ross, Academic press, 1997.