Lokal Tatedualitet

Inom Galoiskohomologin, en del av matematiken, är lokala Tatedualiteten (eller helt enkelt lokala dualiteten) en dualitet för Galoismoduler för absoluta Galoisgruppen av en icke-arkimedisk lokal kropp. Den är uppkallad efter John Tate, som var den första att bevisa den. Dualiteten visar att dualen av en sådan Galoismodul är Tateböjningen den vanliga linjära dualen. Denna nya dual kallas för den (lokala) Tatedualen.

Lokal dualitet tillsammans med Tates lokala Eulerkarakteristikformel är ett användbart medel för att beräkna Galoiskohomologin av lokala kroppar.

Dualiteten

Låt K vara en icke-arkimedisk lokal kropp, låt K^s vara ett separabelt hölje av K, och låt G_K = Gal(K^s/K) vara den absoluta Galoisgruppen av K.

Fallet av ändliga moduler

Beteckna med μ Galoismodulen av alla enhetsrötter i K^s. Givet en ändlig G_K-modul A (av ordning relativt prim till karakteristiken av K), definieras Tatedualen av A som

$A^{\prime }=\mathrm {Hom} (A,\mu )$

(i andra ord är den Tateböjningen av den ordinära dualen A^∗). Låt Hⁱ(K, A) beteckna gruppkohomologin av G_K med koefficienter i A. Satsen säger att ur parningen

$H^{i}(K,A)\times H^{2-i}(K,A^{\prime })\rightarrow H^{2}(K,\mu )=\mathbf {Q} /\mathbf {Z}$

som ges av cupprodukten uppstår en dualitet mellan Hⁱ(K, A) och H²⁻ⁱ(K, A^′) för i = 0, 1, 2. Eftersom G_K har kohomologisk dimension två, försvinner de högre kohomologigrupperna.

Fallet av p-adiska representationer

Låt p vara ett primtal. Låt Q_p(1) beteckna p-adiska cyklotomiska karaktären av G_K (det vill säga Tatemodulen av μ). En p-adisk representation av G_K är en kontinuerlig representation

$\rho :G_{K}\rightarrow \mathrm {GL} (V)$

där V är ett ändligdimensionellt vektorrum över p-adiska talen Q_p och GL(V) betecknar gruppen av invertibla linjära avbildningar från V till sig själv. Tatedualen av V definieras som

$V^{\prime }=\mathrm {Hom} (V,\mathbf {Q} _{p}(1))$

(d.v.s. den är Tateböjningen av den ordinära dualen V^∗ = Hom(V, Q_p)). I detta fall betecknar Hⁱ(K, V) den kontinuerliga grupphohomologin av G_K med koefficienter i V. Lokala Tatedualiteten applicerat till V säger att cupprodukten inducerar en parning

$H^{i}(K,V)\times H^{2-i}(K,V^{\prime })\rightarrow H^{2}(K,\mathbf {Q} _{p}(1))=\mathbf {Q} _{p}$

som är en dualitet mellan Hⁱ(K, V) och H²⁻ⁱ(K, V ′) för i = 0, 1, 2. Även här försvinner de högre kohomologigrupperna.

Se även

• Tatedualitet, en global version (d.v.s. för globala kroppar)

Källor

Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, Local Tate duality, 21 november 2014.

• Rubin, Karl (2000), Euler systems, Hermann Weyl Lectures, Annals of Mathematics Studies, "147", Princeton University Press, ISBN 978-0-691-05076-8 
• Serre, Jean-Pierre (2002), Galois cohomology, Springer Monographs in Mathematics, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-42192-4 , translation of Cohomologie Galoisienne, Springer-Verlag Lecture Notes 5 (1964).