Öppna huvudmenyn

En liealgebra (namngiven efter Sophus Lie) är ett vektorrum tillsammans med en icke-associativ multiplikation kallad lieparentes (på engelska Lie bracket)[1][2] som skrivs . När en algebraisk produkt är definierad på vektorrummet, är lieparentesen kommutatorn .

Liealgebrans största användningsområde är studiet av geometriska objekt såsom liegrupper och differentierbara mångfalder. Begreppet "liealgebra" infördes av Hermann Weyl under 1930-talet. I äldre texter används begreppet infinitesimal grupp.

DefinitionRedigera

En liealgebra är en algebra över en kropp; den är ett vektorrum g över någon kropp K tillsammans med en binär operation [·, ·] : g × g , som kallas lieparentes, vilken uppfyller villkoren

(1)  Bilinjäritet:
 
för alla a, b   K och alla x, y, z  .
(2)  För alla x   gäller:
 
(3)  Jacobi-identiteten:
 
för alla x, y, z   g.
(4)  Antikommutativitet:
Om bilinjäriteten används för att expandera lieparentesen   och med användande av villkor (2) går det att visa att   för alla element x, y i  , vilket implicerar
 

En liealgebra med villkor (2) utbytt mot antisymmetri kallas för en kvasiliealgebra.

Observera också att multiplikationen som ges av lieparentesen inte i allmänhet är associativ, det vill säga,   behöver inte vara lika med  . Därför är liealgebror inte ringar eller associativa ringar i den vanliga meningen.

ExempelRedigera

Ett konkret exempel på en liealgebra är   med vektorprodukt som parentesoperation. Även algebran av n×n-matriser är en liealgebra med kommutatoroperationen   som parentesoperation. Mer allmänt gäller att varje associativ algebra blir en liealgebra under kommutatoroperationen.

Se ävenRedigera

ReferenserRedigera

  1. ^ "Lie bracket" i Björn Graneli, 2002, Engelsk - svensk ordlista för högskolematematiken, Luleå Tekniska Högskola, sid. 23.
  2. ^ "Lie bracket" i Stefan B. Lindström, 2013, Matematisk ordbok för högskolan, sid. 35. ISBN 978-91-981287-0-3.
  Matematikportalen – portalen för matematik på svenskspråkiga Wikipedia.