Legendres sats (sfärisk geometri)

Legendres sats inom den sfäriska geometrin säger att:

Den sfäriska triangeln med lika långa sidor som den plana triangeln .
Den nordvästra halvan av trianguleringsnätet Greenwich - Paris: från Greenwich i England till Dunkerque i norra Frankrike.
Karta över de 14 punkter (varav 13 var kyrktorn) i Nederländerna som Snellius använde 1615[1] i det första försöket att bestämma jordradien med hjälp av triangulering.
Om en sfärisk triangels sidor är små i förhållande till sfärens radie, så gäller för dess hörnvinklar att vardera av dessa överskrider motsvarande vinkel i en plan triangel, med sidor liklånga med den sfäriska triangelns sidor (det vill säga storcirkelbågarnas längd), med en tredjedel av det sfäriska överskottet.

eller, mer formellt:

Om är en sfärisk triangel med hörnvinklarna , och och de till dessa motstående sidorna har längderna , respektive och är en plan triangel med hörnvinklarna , och och de till dessa motstående sidorna har längderna , respektive , så gäller om :
där är det sfäriska överskottet.

Satsen, som har haft stor betydelse inom geodesin för att förenkla beräkningar med mätresultat erhållna vid triangulering, är uppkallad efter den franske matematikern Adrien-Marie Legendre, som medverkade vid beräkningarna av storcirkelbågen mellan Greenwichobservatoriet och Parisobservatoriet 1784-1790. Legendre publicerade sambandet i Mémoire sur les opérations trigonométriques, dont les résultats dépendant de la figure de la Terre[2] 1787 och gav en härledning i Méthode pour déterminer la longueur exacte du quart du méridien d’après les observations faites pour la mesure de l’arc compris entre Dunkerque et Barcelone 1798[3]. Förhållandet bygger på Girards sats från 1629 och skall ha varit i allmänt bruk före Legendre – så skall det exempelvis ha använts av Charles Marie de La Condamine vid uppmätningen av "Perumeridianen" 1740 – dock var det Legendre som gav förhållandet en matematisk grund, i stället för att bara intuitivt "dela överskottet lika mellan vinklarna".[4] August Leopold Crelle och Friedrich Wilhelm Bessel förfinade sedan beräkningsmetoden ytterligare, men den senare slog fast att Legendres beräkningsmetod var tillräckligt noggrann (för beräkningar på jordytan) om triangelsidorna var kortare än 185 km (med dåtida precision).[4][5][6] Karl Buzengeiger expanderade 1818[7] Legendres sats till:

På en enhetssfär gäller om :

Vilket i sin tur expanderades till:

(cyklisk permutation av ovanstående uttryck)

av Adam Maximilian Nell 1874[8] och Friedrich Robert Helmert 1880[9]

Referenser och noterRedigera

  1. ^ Och beskrev i bok 2 av Eratosthenes Batavus de terrae ambitus vera quantitate 1617. För Snellius egen kartskiss se sid. 168.
  2. ^ A.M. Legendre, 1787, Mémoire sur les opérations trigonométriques, dont les résultats dépendant de la figure de la Terre, artikel V, sid. 7.
  3. ^ A.M. Legendre, 1798, Méthodes analytiques pour la détermination d'un arc du méridien, sid. 12-14.
  4. ^ [a b] Johannes Tropfke, 1903, Geschichte der Elementar-mathematik in systematischer Darstellung, Leipzig, Verlag von Veit & Co, sid. 295.
  5. ^ För att horisonten skall befinna sig på detta avstånd måste man befinna sig ungefär 2,7 km högre än nivån vid horisonten. Mata in 2686 i Line of Sight Calculator eller räkna ut med Pythagoras sats:   där 6371 är jordens medelradie i km. För att två punkter på samma höjd skall vara synliga för varandra måste båda ligga 671 m högre än mittpunkten mellan punkterna ( ). Som en jämförelse kan noteras att Engelska kanalen är mellan 34 och 240 km bred.
  6. ^ Bessels formel gav en skillnad på under 0,01 bågsekund vid sidlängder under 25 tyska mil (à 7532,5 m) gentemot Legendres. Se Rudolf Wolf, 1890, Handbuch der Astronomie, ihrer Geschichte und Litteratur , Zürich, F. Schulthess, sid.233. Optiska teodoliter utvecklades under slutet av 1700-talet och användes för trianguleringar av första ordningen fram till 1960-talet, då de nått en graderingsnoggrannhet på under en halv bågsekund och en avläsningsnoggrannhet på en tiondels bågsekund. Se Wolfgang Torge, 2001, Geodesy, 3 uppl, sid. 197 (213/432). ISBN 3110170728. PDF 55 MB.
  7. ^ Karl Buzengeiger, 1818, Vergleichung zweier kleiner Dreiecke von gleichen Seiten, wovon das eine sphärisch, das andere eben ist i Zeitschrift für Astronomie und verwandte Wissenschaften, 1818:6, sid. 264-270.
  8. ^ A.M. Nell, 1874, Zur höheren Geodäsie i Zeitschrift für Mathemetik und Physik, 19, sid. 324ff.
  9. ^ F.R. Helmert, 1880, Die mathematischen und physikalischen Theorieen der höheren Geodäsie, vol. I, Leipzig, B. G. Teubner, sid. 92-93.