Legendres chifunktion

Inom matematiken är Legendres chifunktion, uppkallad efter Adrien-Marie Legendre, en speciell funktion som definieras som den oändliga serien

$\chi _{\nu }(z)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {z^{2k+1}}{(2k+1)^{\nu }}}.$

Den kan skrivas enkelt med hjälp av polylogaritmen som

$\chi _{\nu }(z)={\frac {1}{2}}\left[\operatorname {Li} _{\nu }(z)-\operatorname {Li} _{\nu }(-z)\right].$

Speciella värden

${\begin{matrix}\chi _{2}(\mathrm {i} )&=&\mathrm {i} \cdot G\\\chi _{2}({\sqrt {2}}-1)&=&{\frac {1}{16}}\pi ^{2}-{\frac {1}{4}}\left(\ln({\sqrt {2}}+1)\right)^{2}\\\chi _{2}({\frac {1}{2}}({\sqrt {5}}-1))&=&{\frac {1}{12}}\pi ^{2}-{\frac {3}{4}}\left(\ln({\sqrt {5}}+1)\right)^{2}\\\chi _{2}({\sqrt {5}}-2)&=&{\frac {1}{24}}\pi ^{2}-{\frac {3}{4}}\left(\ln({\sqrt {5}}+1)\right)^{2}\\\chi _{2}(-1)&=&-{\frac {1}{8}}\pi ^{2}\\\chi _{2}(1)&=&{\frac {1}{8}}\pi ^{2}\end{matrix}}$

där i är den imaginära enheten och G är Catalans konstant.

Integralrelationer

$\int _{0}^{\pi /2}\arctan(r\sin \theta )d\theta =-{\frac {1}{2}}\int _{0}^{\pi }{\frac {r\theta \cos \theta }{1+r^{2}\sin ^{2}\theta }}d\theta =2\chi _{2}\left({\frac {{\sqrt {1+r^{2}}}-1}{r}}\right)$

$\int _{0}^{\pi /2}\arctan(p\sin \theta )\arctan(q\sin \theta )d\theta =\pi \chi _{2}\left({\frac {{\sqrt {1+p^{2}}}-1}{p}}\cdot {\frac {{\sqrt {1+q^{2}}}-1}{q}}\right)$

$\int _{0}^{\alpha }\int _{0}^{\beta }{\frac {dxdy}{1-x^{2}y^{2}}}=\chi _{2}(\alpha \beta )\qquad {\rm {om}}~~|\alpha \beta |\leq 1$

Specialfall och generaliseringar

Dirichlets lambdafunktion är ett specialfall av Legendres chifunktion

$\lambda (n)=\chi _{n}(1)\,$

såsom även Dirichlets betafunktion

$\beta (n)={\frac {1}{\rm {i}}}\chi _{n}(\mathrm {i} ).$

Legendres chifunktion är ett specialfall av Lerchs transcendent, nämligen

$\chi _{n}(z)=2^{-n}z\,\Phi (z^{2},n,1/2).\,$

Se även

• Hurwitzs zetafunktion

Referenser

Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, Legendre chi function, 24 november 2013.

Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från tyskspråkiga Wikipedia, Legendresche Chi-Funktion, 24 november 2013.