Lamberts W-funktion är en matematisk funktion som används för att lösa ekvationer innehållande logaritmer eller exponentialfunktioner som inte kan elimineras algebraiskt. Den betecknas W och definieras som inversen till funktionen

Graf av W0(x) för -1/ex ≤ 4

där w är ett komplext tal och ew betecknar exponentialfunktionen. Lamberts W-funktion är uppkallad efter den schweizisk-preussiske matematikern och fysikern Johann Heinrich Lambert.

FlervärdhetRedigera

Funktionen

 

är inte injektiv på (−∞, 0) och W är därför en flervärd funktion på [−1/e, 0). För reella argument x ≥ −1/e kan man med kravet w ≥ −1 definiera en entydig funktion W0. Denna funktion uppfyller W0(0) = 0 och W0(−1/e) = −1.

Metod för ekvationslösningRedigera

Lamberts W-funktion uppfyller

 

och kan därför tillämpas genom att man skriver om ekvationer på formen   där c är konstant, varefter lösningen ges av  . Exempelvis kan ekvationen 2t = 5t lösas genom omskrivningen

 
 
 
 
 

Specifika ekvationer och värdenRedigera

De ekvivalenta ekvationerna   och   har lösningen

 

Ekvationen   löses av

 

och det oändliga tornet av potenser

 

antar vid konvergens värdet

 

Några specifika värden är

 
 
 
 
 
 
  (omegakonstanten)
 
 .

TaylorserieRedigera

Maclaurinserien till Lamberts W-funktion kan beräknas utifrån den implicita ekvationen

 

genom Lagranges inverteringssats. Resultatet är

 

som enligt kvottestet har konvergensradien 1/e.

Mer allmänt, för   är

 

Derivata och primitiv funktionRedigera

Derivatan ges av

 .

Många uttryck innehållande Lamberts W-funktion kan integreras genom variabelsubstitutionen w = W(x), det vill säga x = w ew. Speciellt gäller

 

DifferentialekvationRedigera

Lamberts W-funktion uppfyller differentialekvationen

 

Övriga formlerRedigera

 
 
 

TillväxtRedigera

En approximation av   för stora   är