Lévys C-kurva även känd som Lévy-draken är en fraktal som har fått sin namn från den franske matematikern Paul Pierre Lévy. Namnet c-kurva kommer från att dess utseende kan jämföras med ett C. Jämfört med Von Kochs kurva eller Sierpinskis kurvor så har Lévys C-kurva mer avancerad struktur, men enklare struktur än exempelvis Juliamängden och Mandelbrotmängden. [1]

IFS konstruktionRedigera

 
Lévy C-kurva skapad med hjälp av IFS

Lévys c-kurva kan beräknas med hjälp av användning av itererande funktionssystem.

 


Funktionerna   och   består av förminskning med faktorn   och en rotation med   för   och   för  . C-kurvans Attraktor (K) är den mängd som satisifierar:

 .

För en kompakt mängd S:

 .
 

K är en fixerad punkt i F och

 

Visar att om S är ett linjesegment (med hörn i   och  ) så kommer funktionen F uppreppad oändligt antal gånger existera ändligt.   konvergerar då   Om mängden   är ett linjesegment med hörn i   och   så kommer denna linje transformeras om till en rätvinklig triangel som saknar baslinje. Vid nästa steg i iterationen kommer de två linjerna (som kan ses som sidor i en triangel) att bilda två nya trianglar som saknar hypotenusa. Se figur. [2]

L-system konstruktionRedigera

 
Första åtta stegen i Lévy C-kurva
 
Lévy C-kurva (L-system efter 12 steg)

Vid konstruktion med hjälp av L-systemet bildas C-kurvan genom:

Variabel F
Vinkel 45°
Regel F +F--F+

Där F innebär ett rakt streck, + innebär rotera medurs 45° och - innebär rotera moturs 45°. [3]

HausdorffdimensionRedigera

Hausdorffdimensionen hos Lévys C-kurva beräknades först av Duvall och Keesling 1998 till:

D = 1,934007183...

Senare räknade även Strichartz och Wang ut den till samma värde men med hjälp av ett annat tillvägasätt. [2]

Insidan av Lévy C-kurvanRedigera

Lévy bevisade att C-kurvan har en insida som byggs upp av ett stort antal små element. Alla dessa element är endimensionella och en bestämd längd. Det finns även en begränsad mängd element som C-kurvan består av.[2][1]

Se ävenRedigera

 
Lévy C-kurva variant (skapad med hjälp av IFS)

ReferenserRedigera

NoterRedigera

  1. ^ [a b] S. Bailey, T. Kim, R. S. Strichartz, Inside the Lévy dragon, American Mathematical Monthly 109(8) (2002) pp 689–703
  2. ^ [a b c] Alster, E. 2010, "The finite number of interior component shapes of the Levy dragon", Discrete and Computational Geometry, vol. 43, no. 4, pp. 855-875.
  3. ^ ”Arkiverade kopian”. Arkiverad från originalet den 18 maj 2011. https://web.archive.org/web/20110518012330/http://ecademy.agnesscott.edu/~lriddle/ifs/levy/levy.htm. Läst 9 maj 2011. 

Externa länkarRedigera