Ett initialt objekt i en kategori är ett objekt i sådant att det för varje annat objekt finns en unik morfism . För ett initialt objekt 0 finns alltså en tillordning av en morfism till varje objekt x uppfyllande likheterna

dom(from_0(x)) = 0

och för varje morfism f sådant att

dom(f) = 0

gäller

f = from_0(cod(f))

I termer av mängder av morfismer mellan olika objekt kan det initiala objektet karaktäriseras som att för godtyckligt objekt x gäller

Mor(0,x) = {from_0(x)}

Två initiala objekt i en kategori är unikt isomorfa, ty om och är två initiala objekt finns det enligt definitionen unika morfismer och , och dessa är varandras inverser då deras sammansättningar av samma skäl är identitetsmorfismerna hörande till respektive objekt. Det är därför vanligt att tala om "det initiala objektet" i en kategori.

ExempelRedigera

Många vanliga kategorier har initiala objekt:

  • I kategorin av mängder är den tomma mängden initial (vilket motiverar beteckningen   för initiala objekt).
  • I kategorin av grupper är gruppen med ett element initial.
  • I kategorin av ringar är   det initiala objektet.
  • I kategorin av topologiska rum är det tomma rummet initialt.
  • I en ordnad mängd, betraktad som en kategori, är det minsta elementet (om ett sådant finns) initialt.

Andra vanliga kategorier saknar initialt objekt:

  • Kategorin av affina schemata har inget initialt objekt.
  • Den ordnade mängden av heltal, betraktad som en kategori, har inget initialt objekt (eftersom det inte finns något minsta heltal).

DualitetRedigera

Varje kategoriskt begrepp har ett dualt begrepp som erhålls genom att kasta om alla morfismer i definitionen. Under denna dualitet motsvaras initiala objekt av terminala objekt.