Nollrum

term inom linjär algebra
(Omdirigerad från Kärna (gruppteori))

Nollrummet eller kärnan till en linjär avbildning (där och är två vektorrum) definieras som:

Det vill säga mängden av alla vektorer i som avbildas på nollvektorn, alltså "som blir 0". Att nollrummet gör skäl för sitt namn och inte bara är en delmängd utan även ett underrum till visas med hjälp av definitionen av en linjär avbildning, ty om och så gäller:

vilket är ekvivalent med att är ett underrum av .

TolkningRedigera

Om nollrummet består av åtminstone någon nollskild vektor, det vill säga om  , och avbildningen   kan skrivas med matrisen   följer att:

  •   har icke-triviala lösningar.
  •  , om  

Det vill säga att om du har funnit en lösning   till ekvationen   så är även   en lösning, en lösningsstruktur som bekant återfinns även då man löser linjära differentialekvationer. Det innebär också att det finns en inbyggd osäkerhet i det system som beskrivs av ekvationen  . Om   är någon slags transform som verkar på en insignal   och ger en utsignal   så kan du, givet enbart utsignalen  , inte veta om insignalen i det här fallet var   eller  .

Att   hör till nollrummet behöver dock inte betyda att den inte har någon som helst effekt på systemet. Tänk dig att   nu beskriver en kloss som vi applicerar olika stora krafter på under en viss tid.   står för klossens position och hastighet vid sluttidpunkten,   innehåller de olika krafter som vi vill applicera och   beskriver vilken effekt respektive kraft har på klossens slutposition och sluthastighet. Att   innebär i det här fallet inte nödvändigtvis att klossen står still under hela tidsperioden, utan den kan röra sig fram och tillbaka i princip hur som helst så länge den står still i sin ursprungsposition väl vid sluttidpunkten.

ExempelRedigera

  • Bestäm   om   är en ortogonalprojektion i ett plan.

Lösning: Vid en ortogonalprojektion projiceras varje vektor ner i planet, alltså att man från en given vektor enbart erhåller den komposant som är parallell med planet.   består således av de vektorer som helt saknar en komposant parallell med planet, det vill säga som är ortogonala mot planet. Således består   av alla vektorer längs planets normallinje.

  • Bestäm en bas till   om     4     4 ges av matrisen  :

 


Lösning:   består av alla de vektorer   för vilka  , en ekvation som vi tecknar och sedan löser med stegvis gausselimination:

 

  där vektorerna   och   alltså spänner upp   och således utgör en bas för nollrummet.

Se ävenRedigera

ReferenserRedigera

  • Janfalk, Ulf, Linjär Algebra, 2013, Matematiska institutionen, Linköpings Universitet
  Matematikportalen – portalen för matematik på svenskspråkiga Wikipedia.