j-invarianten

Inom matematiken är Kleins j-invariant, sedd som en funktion av komplexa variabeln τ, en modulär funktion av vikt noll för SL(2, Z) definierad i övre planhalvan av komplexa planet. Den är den unika funktionen med dessa egenskaper som är analytisk förutom vid en spets där den har en enkel pol så att

Kleins j-invariant i komplexa planet

$j\left(e^{{\frac {2}{3}}\pi i}\right)=0,\quad j(i)=1728.$

Rationella funktioner av j är modulära, och det kan visas att alla modulära funktioner är av denna form. j-invarianten studerades klassiskt som en parametrisering av elliptiska kurvor över C, men den har även överraskande samband med symmetrierna av Monstergruppen.

Fourierexpansion

j-invariantens Fourierexpansion i variabeln q = exp(2πiτ) börjar

$j(\tau )={1 \over q}+744+196884q+21493760q^{2}+864299970q^{3}+20245856256q^{4}+\cdots$

Alla koefficienterna är heltal, vilket resulterar i flera nästan-heltal, såsom Ramanujans konstant:

$e^{\pi {\sqrt {163}}}\approx 640320^{3}+744$.

Alternativa uttryck

Följande formel gäller

$j(\tau )={\frac {256(1-x)^{3}}{x^{2}}}$

där x = λ(1−λ) och λ är modulära lambdafunktionen. Värdet av j förblir oförändrat då λ ersätts med något av de sex värdena

$\left\lbrace {\lambda ,{\frac {1}{1-\lambda }},{\frac {\lambda -1}{\lambda }},{\frac {1}{\lambda }},{\frac {\lambda }{\lambda -1}},1-\lambda }\right\rbrace .$

Klasskroppsteori och j

j-invarianten har många remarkabla egenskaper:

• Om τ är ett singulärt moduli, d.v.s. ett godtyckligt element av en imaginär kvadratisk kropp med positiv imaginär del (så att j är definierad), då är j(τ) ett algebraiskt heltal.

• Kroppsutvidgningen Q[j(τ), τ]/Q(τ) är abelsk, d.v.s. har abelsk Galoisgrupp.

Formler för pi

Genom att använda formeln $j{\big (}{\tfrac {1+{\sqrt {-163}}}{2}}{\big )}=-640320^{3}$ bevisade Chudnovskybröderna 1987 formlen

${\frac {1}{\pi }}={\frac {12}{640320^{3/2}}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(6k)!(163\cdot 3344418k+13591409)}{(3k)!(k!)^{3}(-640320)^{3k}}}.$

Källor

Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, j-invariant, 15 april 2014.

• Apostol, Tom M. (1976), Modular functions and Dirichlet Series in Number Theory, Graduate Texts in Mathematics, "41", New York: Springer-Verlag . Provides a very readable introduction and various interesting identities.
  • Apostol, Tom M. (1990), Modular functions and Dirichlet Series in Number Theory (2nd), ISBN 0-387-97127-0 
• Berndt, Bruce C.; Chan, Heng Huat (1999), ”Ramanujan and the modular j-invariant”, Canadian Mathematical Bulletin 42 (4): 427–440, doi:10.4153/CMB-1999-050-1, arkiverad från ursprungsadressen den 2007-09-29, https://web.archive.org/web/20070929105913/http://www.journals.cms.math.ca/cgi-bin/vault/public/view/berndt7376/body/PDF/berndt7376.pdf . Provides a variety of interesting algebraic identities, including the inverse as a hypergeometric series.
• Cox, David A. (1989), Primes of the Form x^2 + ny^2: Fermat, Class Field Theory, and Complex Multiplication, New York: Wiley-Interscience Publication, John Wiley & Sons Inc.  Introduces the j-invariant and discusses the related class field theory.
• Conway, John Horton; Norton, Simon (1979), ”Monstrous moonshine”, Bulletin of the London Mathematical Society 11 (3): 308–339, doi:10.1112/blms/11.3.308 . Includes a list of the 175 genus-zero modular functions.
• Petersson, Hans (1932), ”Über die Entwicklungskoeffizienten der automorphen Formen”, Acta Mathematica 58 (1): 169–215, doi:10.1007/BF02547776 .
• Rademacher, Hans (1938), ”The Fourier coefficients of the modular invariant j(τ)”, American Journal of Mathematics (The Johns Hopkins University Press) 60 (2): 501–512, doi:10.2307/2371313 .
• Rankin, Robert A. (1977), Modular forms and functions, Cambridge: Cambridge University Press, ISBN 0-521-21212-X . Provides a short review in the context of modular forms.
• Schneider, Theodor (1937), ”Arithmetische Untersuchungen elliptischer Integrale”, Math. Annalen 113: 1–13, doi:10.1007/BF01571618 .