Fishers ekvation

Inom matematiken är Fishers ekvation, även kallad för Fisher–Kolmogorovs ekvation och Fisher–KPP-ekvationen, den partiella differentialekvationen

{\frac {\partial u}{\partial t}}=u(1-u)+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}.\,

Den är uppkallad efter Ronald Fisher och Andrej Kolmogorov.

Fisher föreslog denna ekvation för att beskriva den rumsliga spridningen av en fördelaktig allel och utforskade sina resande våglösningar.^[1] För varje våghastighet c ≥ 2 medges resande våglösningar på formen

u(x,t)=v(x\pm ct)\equiv v(z),\,

där $\textstyle v$ ökar och

\lim _{z\rightarrow -\infty }v\left(z\right)=0,\quad \lim _{z\rightarrow \infty }v\left(z\right)=1.

Det vill säga, lösningen växlar från jämviktstillståndet u = 0 till jämviktstillståndet u = 1. Någon sådan lösning finns för c < 2.^[2]^[3]^[4] Vågformen för en given våghastighet är unik.

För den speciella våghastigheten $c=\pm 5/{\sqrt {6}}$ , kan alla lösningar finnas i en sluten form, med^[5]

v(z)=\left(1+C\mathrm {exp} \left(\pm {z}/{\sqrt {6}}\right)\right)^{-2}

där $C$ är godtycklig, och ovannämnda gränsvillkoren uppfylls för $C>0$ .

Den är det enklaste exemplet på ett semilinjärt reaktion–spridningssystem

{\frac {\partial u}{\partial t}}=\Delta u+F\left(u\right),

som kan uppvisa resande våg-lösningar som växlar mellan jämviktstillstånd som ges av $f(u)=0$ . Sådana ekvationer inträffar till exempel i ekologi, fysiologi, förbränning, kristallisering, plasmafysik och i allmänhet fasövergångsproblem.

Bevis på att det finns resande våg-lösningar och analyser av deras egenskaper görs ofta av fasrumsmetoden.

Resande våg-lösningar redigera

Se även redigera

Källor redigera

Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, Fisher's equation, 10 december 2013.

^ Fisher, R. A., The genetical theory of natural selection. Oxford University Press, 1930. Oxford University Press, USA, New Ed edition, 2000, ISBN 978-0-19-850440-5, variorum edition, 1999, ISBN 0-19-850440-3
^ R. A. Fisher. "The wave of advance of advantageous genes", Ann. Eugenics 7:353–369, 1937.
^ A. Kolmogorov, I. Petrovskii, and N. Piscounov. A study of the diffusion equation with increase in the amount of substance, and its application to a biological problem. In V. M. Tikhomirov, editor, Selected Works of A. N. Kolmogorov I, pages 248–270. Kluwer 1991, ISBN 90-277-2796-1. Translated by V. M. Volosov from Bull. Moscow Univ., Math. Mech. 1, 1–25, 1937
^ Peter Grindrod. The theory and applications of reaction-diffusion equations: Patterns and waves. Oxford Applied Mathematics and Computing Science Series. The Clarendon Press Oxford University Press, New York, second edition, 1996 ISBN 0-19-859676-6; ISBN 0-19-859692-8.
^ Ablowitz, Mark J. and Zeppetella, Anthony, Explicit solutions of Fisher's equation for a special wave speed, Bulletin of Mathematical Biology 41 (1979) 835–840

Externa länkar redigera

Fishers ekvation på MathWorld
Fishers ekvation på EqWorld

[Fisher-1930-GTN-1] Fisher, R. A., The genetical theory of natural selection. Oxford University Press, 1930. Oxford University Press, USA, New Ed edition, 2000, ISBN 978-0-19-850440-5, variorum edition, 1999, ISBN 0-19-850440-3

[2] R. A. Fisher. "The wave of advance of advantageous genes", Ann. Eugenics 7:353–369, 1937.

[Kolmogorov-1937-SDE-3] A. Kolmogorov, I. Petrovskii, and N. Piscounov. A study of the diffusion equation with increase in the amount of substance, and its application to a biological problem. In V. M. Tikhomirov, editor, Selected Works of A. N. Kolmogorov I, pages 248–270. Kluwer 1991, ISBN 90-277-2796-1. Translated by V. M. Volosov from Bull. Moscow Univ., Math. Mech. 1, 1–25, 1937

[Grindrod-1996-TAR-4] Peter Grindrod. The theory and applications of reaction-diffusion equations: Patterns and waves. Oxford Applied Mathematics and Computing Science Series. The Clarendon Press Oxford University Press, New York, second edition, 1996 ISBN 0-19-859676-6; ISBN 0-19-859692-8.

[5] Ablowitz, Mark J. and Zeppetella, Anthony, Explicit solutions of Fisher's equation for a special wave speed, Bulletin of Mathematical Biology 41 (1979) 835–840

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]