Ferrero–Washingtons sats

Inom algebraisk talteori är Ferrero–Washingtons sats, först bevisad av Ferrero & Washington (1979) och senare av Sinnott (1984), ett resultat som säger att Iwasawas μ-invariant försvinner för cyklotomiska Z_p-utvidgningar av abelska algebraiska talkroppar.

History

Iwasawa (1959) introducerade μ-invarianten av en Z_p-utvidgning och observerade att den var noll i alla fall som han beräknat. Iwasawa & Sims (1966) använde en dator till att kontrollera den försvinner för cyklotomiska Z_p-utvidgningar av rationella talen för alla primtal mindre än 4000. Iwasawa (1971) förmodade att μ-invarianten försvinner för alla Z_p-utvidgningar, men kort därefter upptäckte Iwasawa (1973) exempel av icke-cyklotomiska utvidgningar av talkroppar vars μ-invariant inte försvinner, vilket bevisade att hans förmodan var falskt. Istället föreslog han att förmodan kunde gälla för alla cyklotomiska Z_p-utvidgningar.

Iwasawa (1958) bevisade att försvinnandet av μ-invarianten för cyklotomiska Z_p-utvidgningar över de rationella talen är ekvivalent till vissa kongruenser mellan Bernoullital, och Ferrero & Washington (1979) bevisade att μ-invarianten försvinner i dessa fall genom att bevisa att kongruenserna gäller.

Källor

Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, Ferrero–Washington theorem, 29 maj 2014.

• Ferrero, Bruce; Washington, Lawrence C. (1979), ”The Iwasawa invariant μ_p vanishes for abelian number fields”, Annals of Mathematics. Second Series 109 (2): 377–395, doi:10.2307/1971116, ISSN 0003-486X, http://dx.doi.org/10.2307/1971116 
• Iwasawa, Kenkichi (1958), ”On some invariants of cyclotomic fields”, American Journal of Mathematics 81: 280, correction, ISSN 0002-9327, http://www.jstor.org/stable/2372782 
• Iwasawa, Kenkichi (1959), ”On Γ-extensions of algebraic number fields”, Bulletin of the American Mathematical Society 65 (4): 183–226, doi:10.1090/S0002-9904-1959-10317-7, , ISSN 0002-9904 
• Iwasawa, Kenkichi (1971), ”On some infinite Abelian extensions of algebraic number fields”, Actes du Congrès International des Mathématiciens (Nice, 1970), Tome 1, Gauthier-Villars, s. 391–394, , arkiverad från ursprungsadressen den 2014-05-29, https://web.archive.org/web/20140529141743/http://ada00.math.uni-bielefeld.de/ICM/ICM1970.1/, läst 29 maj 2014 
• Iwasawa, Kenkichi (1973), ”On the μ-invariants of Z1-extensions”, Number theory, algebraic geometry and commutative algebra, in honor of Yasuo Akizuki, Tokyo: Kinokuniya, s. 1–11, , http://books.google.com/books?id=4_buAAAAMAAJ 
• Iwasawa, Kenkichi; Sims, Charles C. (1966), ”Computation of invariants in the theory of cyclotomic fields”, Journal of the Mathematical Society of Japan 18: 86–96, doi:10.4099/jmath.18.86, , ISSN 0025-5645 
• Manin, Yu. I.; Panchishkin, A. A. (2007), Introduction to Modern Number Theory, Encyclopaedia of Mathematical Sciences, "49" (Second), ISBN 978-3-540-20364-3, ISSN 0938-0396 
• Sinnott, W. (1984), ”On the μ-invariant of the Γ-transform of a rational function”, Inventiones Mathematicae 75 (2): 273–282, doi:10.1007/BF01388565, ISSN 0020-9910, http://dx.doi.org/10.1007/BF01388565