Dominerade konvergenssatsen förkunnar att om är ett mått på en mängd , är en följd av funktioner som är integrerbara med avseende på , sådana att de antingen konvergerar nästan överallt till en funktion , vilket kan formuleras som att

för varje , och att , där är en integrerbar funktion, så är integrerbar och

[1]

BevisRedigera

Satsen kan bevisas enligt följande. Antag först att

 

för varje  . Låt   Då är   en  -ändlig mängd, vilket är uppenbart om   är ett  -ändligt mått och eljest är en direkt följd av att   är integrerbara funktioner. Sålunda kan   skrivas som en union

 

där   och  .

Låt  . Då är

 

Det följer att det för varje   finns ett tal   sådant att

 

gäller för varje   och  , alldenstund  , när  .

Låt  . Då är

 

Ur antagandet om funktionerna   följer att   när  . Sålunda finns ett tal   sådant att

 

gäller för varje  . Detta ger nu att

 

om   och  . Härav följer att

 

och sålunda gäller att

 

eftersom  . Det är nu lätt att se att

 

vilket bevisar satsen.

För att visa satsen när   konvergerar till   nästan överallt, räcker det att visa att

 

för varje  . Låt

 

Eftersom   är integrerbar så är   och eftersom   nästan överallt så är  . Det följer att  . Enär  , följer det att

 

för varje  . Detta slutför beviset av satsen.

ReferenserRedigera

  1. ^ Burkill, J.C. (1951). The Lebesgue integral. Cambridge University Press. sid. 41