Dominerade konvergenssatsen förkunnar att om
μ
{\displaystyle \mu }
är ett mått på en mängd
X
{\displaystyle X}
,
f
n
{\displaystyle f_{n}}
är en följd av funktioner på
X
{\displaystyle X}
som är integrerbara med avseende på
μ
{\displaystyle \mu }
, sådana att de antingen konvergerar nästan överallt till en funktion
f
{\displaystyle f}
, vilket kan formuleras som att
μ
{
x
:
|
f
n
(
x
)
−
f
(
x
)
|
>
ε
}
→
0
,
n
→
∞
{\displaystyle \mu \{\,x:|f_{n}(x)-f(x)|>\varepsilon \,\}\to 0,\quad n\to \infty }
för varje
ε
>
0
{\displaystyle \varepsilon >0}
, och att
|
f
n
|
≤
|
g
|
{\displaystyle |f_{n}|\leq |g|}
, där
g
{\displaystyle g}
är en integrerbar funktion, så är
f
{\displaystyle f}
integrerbar och
lim
n
→
∞
∫
|
f
n
−
f
|
d
μ
=
0.
{\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }\int |f_{n}-f|\,\mathrm {d} \mu =0.}
[ 1]
Satsen kan bevisas enligt följande. Antag först att
μ
{
x
:
|
f
n
(
x
)
−
f
(
x
)
|
>
ε
}
→
0
,
n
→
∞
{\displaystyle \mu \{\,x:|f_{n}(x)-f(x)|>\varepsilon \,\}\to 0,\quad n\to \infty }
för varje
ε
>
0
{\displaystyle \varepsilon >0}
. Låt
E
=
⋃
n
=
1
∞
{
x
:
f
n
(
x
)
≠
0
}
.
{\displaystyle E=\bigcup _{n=1}^{\infty }\{\,x:f_{n}(x)\neq 0\,\}.}
Då är
E
{\displaystyle E}
en
σ
{\displaystyle \sigma }
-ändlig mängd, vilket är uppenbart om
μ
{\displaystyle \mu }
är ett
σ
{\displaystyle \sigma }
-ändligt mått och eljest är en direkt följd av att
f
n
{\displaystyle f_{n}}
är integrerbara funktioner. Sålunda kan
E
{\displaystyle E}
skrivas som en union
E
=
⋃
k
=
1
∞
E
k
,
{\displaystyle E=\bigcup _{k=1}^{\infty }E_{k},}
där
E
k
⊂
E
k
+
1
{\displaystyle E_{k}\subset E_{k+1}}
och
μ
(
E
k
)
<
∞
{\displaystyle \mu (E_{k})<\infty }
.
Låt
F
k
=
E
∖
E
k
{\displaystyle F_{k}=E\setminus E_{k}}
. Då är
∫
F
k
|
f
m
−
f
n
|
d
μ
≤
∫
F
k
(
|
f
m
|
+
|
f
n
|
)
d
μ
≤
2
∫
F
k
g
d
μ
.
{\displaystyle \int _{F_{k}}|f_{m}-f_{n}|\,\mathrm {d} \mu \leq \int _{F_{k}}(|f_{m}|+|f_{n}|)\,\mathrm {d} \mu \leq 2\int _{F_{k}}g\,\mathrm {d} \mu .}
Det följer att det för varje
ε
0
>
0
{\displaystyle \varepsilon _{0}>0}
finns ett tal
k
0
{\displaystyle k_{0}}
sådant att
∫
F
k
|
f
m
−
f
n
|
d
μ
<
ε
0
,
k
≥
k
0
,
{\displaystyle \int _{F_{k}}|f_{m}-f_{n}|\,\mathrm {d} \mu <\varepsilon _{0},\quad k\geq k_{0},}
gäller för varje
m
{\displaystyle m}
och
n
{\displaystyle n}
, alldenstund
∫
F
k
g
d
μ
→
0
{\displaystyle \int _{F_{k}}g\,\mathrm {d} \mu \to 0}
, när
k
→
∞
{\displaystyle k\to \infty }
.
Låt
G
m
,
n
=
{
x
:
|
f
m
(
x
)
−
f
n
(
x
)
|
≥
ε
1
}
{\displaystyle G_{m,n}=\{\,x:|f_{m}(x)-f_{n}(x)|\geq \varepsilon _{1}\,\}}
. Då är
∫
E
k
|
f
m
−
f
n
|
d
μ
=
∫
E
k
∖
G
m
,
n
|
f
m
−
f
n
|
d
μ
+
∫
E
k
∩
G
m
,
n
|
f
m
−
f
n
|
d
μ
≤
ε
1
μ
(
E
k
)
+
2
∫
E
k
∩
G
m
,
n
g
d
μ
.
{\displaystyle \int _{E_{k}}|f_{m}-f_{n}|\,\mathrm {d} \mu =\int _{E_{k}\setminus G_{m,n}}|f_{m}-f_{n}|\,\mathrm {d} \mu +\int _{E_{k}\cap G_{m,n}}|f_{m}-f_{n}|\,\mathrm {d} \mu \leq \varepsilon _{1}\mu (E_{k})+2\int _{E_{k}\cap G_{m,n}}g\,\mathrm {d} \mu .}
Ur antagandet om funktionerna
f
n
{\displaystyle f_{n}}
följer att
μ
(
G
m
,
n
)
→
0
{\displaystyle \mu (G_{m,n})\to 0}
när
m
,
n
→
∞
{\displaystyle m,n\to \infty }
. Sålunda finns ett tal
n
0
{\displaystyle n_{0}}
sådant att
2
∫
E
k
∩
G
m
,
n
g
d
μ
<
ε
1
,
{\displaystyle 2\int _{E_{k}\cap G_{m,n}}g\,\mathrm {d} \mu <\varepsilon _{1},}
gäller för varje
m
≥
n
≥
n
0
{\displaystyle m\geq n\geq n_{0}}
. Detta ger nu att
∫
|
f
m
−
f
n
|
d
μ
=
∫
F
k
|
f
m
−
f
n
|
d
μ
+
∫
E
k
|
f
m
−
f
n
|
d
μ
≤
ε
0
+
ε
1
μ
(
E
k
)
+
ε
1
,
{\displaystyle \int |f_{m}-f_{n}|\,\mathrm {d} \mu =\int _{F_{k}}|f_{m}-f_{n}|\,\mathrm {d} \mu +\int _{E_{k}}|f_{m}-f_{n}|\,\mathrm {d} \mu \leq \varepsilon _{0}+\varepsilon _{1}\mu (E_{k})+\varepsilon _{1},}
om
m
≥
n
≥
n
0
{\displaystyle m\geq n\geq n_{0}}
och
k
≥
k
0
{\displaystyle k\geq k_{0}}
. Härav följer att
lim sup
m
,
n
→
∞
∫
|
f
m
−
f
n
|
d
μ
≤
ε
0
+
ε
1
μ
(
E
k
)
+
ε
1
,
{\displaystyle \limsup _{m,n\to \infty }\int |f_{m}-f_{n}|\,\mathrm {d} \mu \leq \varepsilon _{0}+\varepsilon _{1}\mu (E_{k})+\varepsilon _{1},}
och sålunda gäller att
lim sup
m
,
n
→
∞
∫
|
f
m
−
f
n
|
d
μ
≤
ε
0
,
{\displaystyle \limsup _{m,n\to \infty }\int |f_{m}-f_{n}|\,\mathrm {d} \mu \leq \varepsilon _{0},}
eftersom
μ
(
E
k
)
<
0
{\displaystyle \mu (E_{k})<0}
. Det är nu lätt att se att
lim
n
→
∞
∫
|
f
n
−
f
|
d
μ
=
0
,
{\displaystyle \lim _{n\to \infty }\int |f_{n}-f|\,\mathrm {d} \mu =0,}
vilket bevisar satsen.
För att visa satsen när
f
n
{\displaystyle f_{n}}
konvergerar till
f
{\displaystyle f}
nästan överallt, räcker det att visa att
μ
{
x
:
|
f
n
(
x
)
−
f
(
x
)
|
>
ε
}
→
0
,
n
→
∞
{\displaystyle \mu \{\,x:|f_{n}(x)-f(x)|>\varepsilon \,\}\to 0,\quad n\to \infty }
för varje
ε
>
0
{\displaystyle \varepsilon >0}
. Låt
E
n
=
⋃
k
=
n
∞
{
x
:
|
f
k
(
x
)
−
f
(
x
)
|
≥
ε
}
⊂
{
x
:
g
(
x
)
≥
ε
/
2
}
.
{\displaystyle E_{n}=\bigcup _{k=n}^{\infty }\{\,x:|f_{k}(x)-f(x)|\geq \varepsilon \,\}\subset \{\,x:g(x)\geq \varepsilon /2\,\}.}
Eftersom
g
{\displaystyle g}
är integrerbar så är
μ
(
E
n
)
<
∞
{\displaystyle \mu (E_{n})<\infty }
och eftersom
lim
n
→
∞
f
n
=
f
{\displaystyle \lim _{n\to \infty }f_{n}=f}
nästan överallt så är
μ
(
⋂
n
=
1
∞
E
n
)
=
0
{\displaystyle \mu (\bigcap _{n=1}^{\infty }E_{n})=0}
. Det följer att
lim
n
→
∞
μ
(
E
n
)
=
0
{\displaystyle \lim _{n\to \infty }\mu (E_{n})=0}
. Enär
{
x
:
|
f
n
(
x
)
−
f
(
x
)
|
≥
ε
}
⊂
E
n
{\displaystyle \{\,x:|f_{n}(x)-f(x)|\geq \varepsilon \,\}\subset E_{n}}
, följer det att
μ
{
x
:
|
f
n
(
x
)
−
f
(
x
)
|
>
ε
}
→
0
,
n
→
∞
{\displaystyle \mu \{\,x:|f_{n}(x)-f(x)|>\varepsilon \,\}\to 0,\quad n\to \infty }
för varje
ε
>
0
{\displaystyle \varepsilon >0}
. Detta slutför beviset av satsen.
^ Burkill, J.C. (1951). The Lebesgue integral . Cambridge University Press. sid. 41