Derivering av integraler

Derivering av integraler är en central operation i matematisk analys. Det är ofta relevant att fråga huruvida funktioner av typen

$I(t)=\int _{E}f(x,t)\,dx$

har någon derivata och i så fall vilken.

Derivering genom byte av integrationsordning

$I(t)=\int _{E}f(x,t)\,dx=\int _{E}\left(\int _{a}^{t}{\frac {\partial }{\partial s}}f(x,s)\,ds\,+f(x,a)\right)dx$

Under vissa förutsättningar (se byte av integrationsordning) kan dessa integraler beräknas i omvänd ordning och $I(t)\,$ blir då lika med.

$\int _{a}^{t}\left(\int _{E}{\frac {\partial }{\partial s}}f(x,s)\,dx\,\right)ds+\int _{E}f(x,a)\,dx$,

varvid

$I'(t)=\int _{E}{\frac {\partial }{\partial t}}f(x,t)\,dx$.

Tillräckliga krav

Dessa krav är var för sig tillräckliga för att det skall vara tillåtet att flytta deriveringen innanför integralen:

1. ${\frac {\partial }{\partial t}}f(x,t)\geq 0$ för alla $x,t\,$
2. $\int _{E}\left|{\frac {\partial }{\partial t}}f(x,t)\right|dx<\infty$
3. $f\,$ och ${\frac {\partial f}{\partial t}}$ är begränsade och kontinuerliga i $x\,$ och $t\,$

Exempel

Betrakta funktionen

$I(t)=\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-x}-e^{-tx}}{x}}dx$.

Vi ser direkt att $I(1)=0\,$ och att

${\frac {\partial }{\partial t}}\left({\frac {e^{-x}-e^{-tx}}{x}}\right)=e^{-tx}$ .

Eftersom derivatan alltid är positiv kan vi byta integrationsordning:

$I(t)=\int _{0}^{\infty }\left(\int _{1}^{t}e^{-sx}ds\right)dx=\int _{1}^{t}\left(\int _{0}^{\infty }e^{-sx}dx\right)ds=\int _{1}^{t}\left[{\frac {e^{-sx}}{-s}}\right]_{x=0}^{x=\infty }ds=\int _{1}^{t}{\frac {1}{s}}ds=\log t$.

Genom att derivera var det alltså möjligt att beräkna $I(t)\,$ explicit.

Referenser

• G. B. Folland, Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications, John Wiley and Sons 1999 ISBN 0-471-31716-0

Se även

Den här artikeln ingår i boken:  Måtteori