Delarantalet (alternativt antal delare ) för ett positivt heltal n , är antalet positiva delare till talet, inklusive 1 och n självt, och betecknas ofta d(n ).
Talet 28 är delbart med 1, 2, 4, 7, 14 och 28, så d(28) = 6.
Talet 7 är delbart med 1 och 7, så d(7) = 2.
Talet 12 är delbart med 1, 2, 3, 4, 6 och 12, så d(12) = 6.
Om primtalsfaktoriseringen av n är
n = ∏ i = 1 r p i a i {\displaystyle n=\prod _{i=1}^{r}p_{i}^{a_{i}}} är delarantalet av n
d ( n ) = ∏ i = 1 r ( a i + 1 ) . {\displaystyle d(n)=\prod _{i=1}^{r}(a_{i}+1).} Roger Heath-Brown bevisade 1984 att det finns oändligt många n så att
d ( n ) = d ( n + 1 ) . {\displaystyle d(n)=d(n+1).}
För alla ϵ > 0 {\displaystyle \epsilon >0} är
d ( n ) = o ( n ϵ ) . {\displaystyle d(n)=o(n^{\epsilon }).} Severin Wigert har bevisat att
lim sup n → ∞ log d ( n ) log n / log log n = log 2. {\displaystyle \limsup _{n\to \infty }{\frac {\log d(n)}{\log n/\log \log n}}=\log 2.} Å andra sidan, eftersom det finns oändligt många primtal , är
lim inf n → ∞ d ( n ) = 2. {\displaystyle \liminf _{n\to \infty }d(n)=2.} Peter Gustav Lejeune Dirichlet bevisade att delarfunktionen satisfierar
for all x ≥ 1 , ∑ n ≤ x d ( n ) = x log x + ( 2 γ − 1 ) x + O ( x ) {\displaystyle {\mbox{for all }}x\geq 1,\sum _{n\leq x}d(n)=x\log x+(2\gamma -1)x+O({\sqrt {x}})} där γ {\displaystyle \gamma } är Eulers konstant . Att förbättra feltermen O ( x ) {\displaystyle O({\sqrt {x}})} i formeln är känt som Dirichlets delarproblem.
Genererande funktioner
redigera
Relation till andra aritmetiska funktioner
redigera
2 ω ( n ) ≤ d ( n ) ≤ 2 Ω ( n ) {\displaystyle 2^{\omega (n)}\leq d(n)\leq 2^{\Omega (n)}\;}