Cullental är inom matematiken ett naturligt tal på formen n · 2n + 1 (skrivet Cn). Cullental studerades först av Fr. James Cullen år 1905. Cullental är ett specialfall av Prothtal.
Egenskaper redigera
År 1976 visade Christopher Hooley att den naturliga densiteten av positiva heltal för vilka Cn är ett primtal av ordningen o(x) för . I den meningen är nästan alla Cullental sammansatta.[1] Hooleys bevis omarbetades av Hiromi Suyama för att visa att det fungerar för någon följd n · 2n + a + b där a och b är heltal, och i synnerhet även för Woodalltal.
De första talen i talföljden är:
- 1, 141, 4713, 5795, 6611, 18496, 32292, 32469, 59656, 90825, 262419, 361275, 481899, 1354828, 6328548, 6679881, … (talföljd A005849 i OEIS)
Sedan augusti 2009 är det största kända (prim)talet 6679881 × 26679881 + 1. Det är ett Megaprimtal med 2 010 852 siffror och upptäcktes av en PrimeGrid-deltagare från Japan.[2]
Ett Cullental Cn är delbart med p = 2n − 1 om p är ett primtal av formen 8k − 3. och dessutom framgår det av Fermats lilla sats att om p är ett udda primtal, då är p delare av Cm(k) för varje m(k) = (2k − k) (p − 1) − k (för k > 0). Det har också visats att primtalet p delar C(p + 1)/2 när Jacobisymbolen (2 | p) är −1, och att p delar C(3p − 1)/2 Jacobisymbolen (2 | p) är 1.
Det är okänt om det finns ett primtal p sådana att C- p är också primtal.
Generaliseringar redigera
Ibland identifieras ett generaliserat Cullental som ett tal av formen n · bn + 1, där n + 2 > b. Om ett primtal kan skrivas på den formen så är det ett generaliserat Cullenprimtal.
Sedan februari 2012 är det största kända generaliserade Cullenprimtalet 427194 × 113427194 + 1. Det har 877 069 siffror och upptäcktes av en PrimeGrid-deltagare från USA.[3]
Referenser redigera
- Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, Cullen number, 10 november 2013.
Noter redigera
- ^ Everest, Graham; van der Poorten, Alf; Shparlinski, Igor; Ward, Thomas (2003). Recurrence sequences. Mathematical Surveys and Monographs. "104". Providence, RI: American Mathematical Society. sid. 94. ISBN 0-8218-3387-1
- ^ ”The Prime Database: 6679881*2^6679881+1”, Chris Caldwell's The Largest Known Primes Database, http://primes.utm.edu/primes/page.php?id=89536, läst 22 december 2009
- ^ ”The Prime Database: 427194 · 113^427194 + 1”, Chris Caldwell's The Largest Known Primes Database, http://primes.utm.edu/primes/page.php?id=104121, läst 30 januari 2012
Vidare läsning redigera
- Cullen, James (December 1905), ”Question 15897”, Educ. Times: 534.
- Guy, Richard K. (2004), Unsolved Problems in Number Theory (3rd), New York: Springer Verlag, Section B20, ISBN 0-387-20860-7.
- Hooley, Christopher (1976), Applications of sieve methods, Cambridge Tracts in Mathematics, "70", Cambridge University Press, s. 115–119, ISBN 0-521-20915-3.
- Keller, Wilfrid (1995), ”New Cullen Primes”, Mathematics of Computation 64 (212): 1733–1741,S39–S46, ISSN 0025-5718, http://www.ams.org/mcom/1995-64-212/S0025-5718-1995-1308456-3/S0025-5718-1995-1308456-3.pdf.
Externa länkar redigera
- Chris Caldwell, The Top Twenty: Cullen primes på Prime Pages.
- The Prime Glossary: Cullen number på Prime Pages.
- Weisstein, Eric W., "Cullen number", MathWorld. (engelska)
- Cullen prime: definition and status (föråldrad), Sök efter Cullenprimtal
- Paul Leyland, Generaliseringar av Cullen- och Woodalltal