Öppna huvudmenyn

Borel–Cantellis lemma är inom matematiken, specifikt inom sannolikhetsteorin och måtteori, ett antal resultat med vilka man kan undersöka om en följd av stokastiska variabler konvergerar eller ej.

Borel–Cantellis lemmaRedigera

Om   är en följd av alltmer ovanliga händelser, kommer endast ändligt många av dem att inträffa:

 

Beteckningen   står för sannolikheten att händelsen   skall inträffa.

Om   är en följd av vanligt förekommande oberoende händelser, så kommer oändligt många av dem att inträffa:

 

En mer allmän form av det första av Borel–Cantellis lemma gäller godtyckliga måttrum: Om   är ett måttrum och   är en följd av element i sigma-algebran   så gäller

 

måttet   behöver inte vara ändligt.

Bevis för det första av Borel–Cantellis lemmataRedigera

Scenariot att oändligt många av händelserna   skall inträffa kan skrivas

 

Händelserna   är mindre och mindre delar av varandra:

 

detta innebär dels att snittet av de   stycken första händelserna är samma sak som händelsen  :

 

och dels att sannolikheterna för att händelserna skall inträffa blir mindre och mindre:

 

Villkoret

 

att summan av sannolikheterna för händelserna   är ändlig innebär att sannolikheterna   blir hur små som helst ju större talet N är:

 

Det faktum att ett sannolikhetsmått är ett ändligt mått låter oss dra slutsatsen att

 

Eftersom händelserna   är delar av varandra vet vi att

 

Därför kan vi säga att

 

Koppling till konvergens av stokastiska variablerRedigera

En följd av stokastiska variabler   konvergerar mot den stokastiska variabeln   om 'avståndet'   avtar mot noll då index   växer. (Det finns många olika tolkningar av begreppet avstånd mellan stokastiska variabler.)

Låt   vara händelsen att 'avståndet' mellan   och   är större än talet  :

 

Om dessa händelser successivt blir så ovanliga att deras sannolikheter avtar, så att   så säger Borel–Cantellis lemma att endast ändligt många av dem kommer att inträffa; Detta innebär att det finns ett ändligt (stokastiskt) index   sådant att:

 

Det går därför att få 'avståndet' mellan   och   hur litet som helst, så länge som man väljer index   tillräckligt stort; Med andra ord konvergerar följden   mot  .

  Matematikportalen – portalen för matematik på svenskspråkiga Wikipedia.