Bas (topologi)

En bas B för en topologi T på en mängd X är en samling av element i T sådan att varje element i T är en union av ett godtyckligt antal element i B. Man säger att basen genererar topologin.

Definition och egenskaper

Om X är en mängd är en samling B av delmängder till X en bas för en topologi om

1. Unionen av alla element i B är X.
2. Om $G_{1},G_{2}\in B$, så ska det, för alla $p\in G_{1}\cap G_{2}$, finnas $G_{3}\in B$ så att $p\in G_{3}$ och $G_{3}\subseteq G_{1}\cap G_{2}$.

Om en samling av delmängder inte uppfyller båda villkoren är det inte en bas för någon topologi på X (det är dock en underbas). Om en samling av delmängder är en bas definierar det en unik topologi på X. Denna topologi kallas toppologin genererad av B. Baser är vanliga vid konstruktionen av topologier, exempelvis är den metriska topologin vanligtvis genererad via en bas.

Två baser säges vara ekvivalenta baser om de definierar samma topologi. Två baser $B_{1}$ och $B_{2}$ är ekvivalenta om och endast om det för varje p i varje $G_{1}\in B_{1}$ finns ett $G_{2}\in B_{2}$ så att $p\in B_{2}\subseteq B_{1}$.

Exempel

Mängden $M=\{N_{\varepsilon }({\bar {x}}):\varepsilon \geq 0,{\bar {x}}\in \mathbb {R} ^{2}\}$ bildar en bas för $\mathbb {R} ^{2}$. Här är

$N_{\varepsilon }({\bar {x}})=\{{\bar {y}}\in \mathbb {R} ^{2}:|{\bar {x}}-{\bar {y}}|\leq \varepsilon \}$

där $|\cdot |$ är den euklidiska normen.

Referenser

• Hocking, John G.; Gail S. Young (1961). Topology. Dover Pulications. ISBN 0-486-65676-4