Om vi har ett måttstruktur i X kan vi generalisera supremumnormen. Låt
(
X
,
F
,
μ
)
{\displaystyle (X,{\mathcal {F}},\mu )}
vara ett måttrum och
M
(
X
,
R
)
:=
{
f
∈
R
X
:
f
är
F
-mätbara
}
{\displaystyle {\mathcal {M}}(X,\mathbb {R} ):=\{f\in \mathbb {R} ^{X}:f{\mbox{ är }}{\mathcal {F}}{\mbox{-mätbara}}\}}
.
Då är väsentliga supremumnormen för
f
∈
M
(
X
,
R
)
{\displaystyle f\in {\mathcal {M}}(X,\mathbb {R} )}
‖
f
‖
∞
ess
:=
ess
sup
|
f
|
=
inf
{
r
∈
R
:
μ
(
{
x
∈
X
:
|
f
(
x
)
|
>
r
}
)
=
0
}
.
{\displaystyle \|f\|_{\infty }^{\operatorname {ess} }:=\operatorname {ess} \sup |f|=\inf\{r\in \mathbb {R} :\mu (\{x\in X:|f(x)|>r\})=0\}.}
där
ess
sup
{\displaystyle \operatorname {ess} \sup }
är väsentligt supremum .
Normerade och seminormerade rum med väsentliga supremumnormen
redigera
Några egenskaper för väsentliga supremumnormen är:
‖
f
‖
∞
e
s
s
≤
‖
f
‖
∞
{\displaystyle \|f\|_{\infty }^{\mathrm {ess} }\leq \|f\|_{\infty }}
,
‖
a
f
‖
∞
e
s
s
=
|
a
|
‖
f
‖
∞
e
s
s
{\displaystyle \|af\|_{\infty }^{\mathrm {ess} }=|a|\|f\|_{\infty }^{\mathrm {ess} }}
och
‖
f
+
g
‖
∞
e
s
s
≤
‖
f
‖
∞
e
s
s
+
‖
g
‖
∞
e
s
s
{\displaystyle \|f+g\|_{\infty }^{\mathrm {ess} }\leq \|f\|_{\infty }^{\mathrm {ess} }+\|g\|_{\infty }^{\mathrm {ess} }}
för alla
f
,
g
∈
M
(
X
,
R
)
{\displaystyle f,g\in {\mathcal {M}}(X,\mathbb {R} )}
och
a
∈
R
{\displaystyle a\in \mathbb {R} }
. Detta ger att
(
B
(
X
,
R
)
∩
M
(
X
,
R
)
,
‖
⋅
‖
∞
e
s
s
)
{\displaystyle ({\mathcal {B}}(X,\mathbb {R} )\cap {\mathcal {M}}(X,\mathbb {R} ),\|\cdot \|_{\infty }^{\mathrm {ess} })}
är ett (seminormerat rum .
Seminormen
‖
⋅
‖
∞
e
s
s
{\displaystyle \|\cdot \|_{\infty }^{\mathrm {ess} }}
är inte en norm eftersom det finns funktioner som inte är nollfunktionen men som har en väsentligt supremumnorm som är noll, om exempelvis
(
X
,
F
,
μ
)
=
(
R
,
L
e
b
R
,
L
1
)
{\displaystyle (X,{\mathcal {F}},\mu )=(\mathbb {R} ,\mathrm {Leb} \mathbb {R} ,{\mathcal {L}}_{1})}
får man att
‖
χ
N
‖
∞
e
s
s
=
0
{\displaystyle \|\chi _{\mathbb {N} }\|_{\infty }^{\mathrm {ess} }=0}
där
χ
N
{\displaystyle \chi _{\mathbb {N} }}
är indikatorfunktionen för de naturliga talen. Resultatet ovan fås då
L
1
(
N
)
=
0
{\displaystyle {\mathcal {L}}_{1}(\mathbb {N} )=0}
men
χ
N
≠
0
{\displaystyle \chi _{\mathbb {N} }\neq \mathbf {0} }
.
Men man kan definiera en ekvivalensrelation i
B
(
X
,
R
)
∩
M
(
X
,
R
)
{\displaystyle {\mathcal {B}}(X,\mathbb {R} )\cap {\mathcal {M}}(X,\mathbb {R} )}
genom att
f
∼
g
{\displaystyle f\sim g\,}
om och endast om
‖
f
‖
∞
e
s
s
=
‖
g
‖
∞
e
s
s
{\displaystyle \|f\|_{\infty }^{\mathrm {ess} }=\|g\|_{\infty }^{\mathrm {ess} }}
och definiera väsentliga supremumnormen för ekvivalensklasser
‖
f
∼
‖
∞
e
s
s
:=
‖
f
‖
∞
e
s
s
{\displaystyle \|f^{\sim }\|_{\infty }^{\mathrm {ess} }:=\|f\|_{\infty }^{\mathrm {ess} }}
där
f
∼
{\displaystyle f^{\sim }}
är ekvivalensklassen med representant f :
f
∼
:=
{
g
∈
B
(
X
,
R
)
∩
M
(
X
,
R
)
:
f
∼
g
}
.
{\displaystyle f^{\sim }:=\{g\in {\mathcal {B}}(X,\mathbb {R} )\cap {\mathcal {M}}(X,\mathbb {R} ):f\sim g\}.}
Med denna struktur fås att
(
B
(
X
,
R
)
∩
M
(
X
,
R
)
/
∼
,
‖
⋅
‖
∞
e
s
s
)
{\displaystyle ({\mathcal {B}}(X,\mathbb {R} )\cap {\mathcal {M}}(X,\mathbb {R} )/\sim ,\|\cdot \|_{\infty }^{\mathrm {ess} })}
är ett normerat rum.
En fördel med väsentliga supremumnormen är att man kan få med fler funktioner i sitt normerade rum, då det finns måttrum
(
X
,
F
,
μ
)
{\displaystyle (X,{\mathcal {F}},\mu )}
och funktioner
f
∈
M
(
X
,
R
)
{\displaystyle f\in {\mathcal {M}}(X,\mathbb {R} )}
som har
‖
f
‖
∞
e
s
s
<
∞
{\displaystyle \|f\|_{\infty }^{\mathrm {ess} }<\infty }
men
‖
f
‖
∞
=
∞
{\displaystyle \|f\|_{\infty }=\infty }
.
Till exempel, om
(
X
,
F
,
μ
)
=
(
R
,
L
e
b
R
,
L
1
)
{\displaystyle (X,{\mathcal {F}},\mu )=(\mathbb {R} ,\mathrm {Leb} \mathbb {R} ,{\mathcal {L}}_{1})}
får man att
‖
1
N
⋅
exp
‖
∞
e
s
s
=
0
{\displaystyle \|\mathbf {1} _{\mathbb {N} }\cdot \exp \|_{\infty }^{\mathrm {ess} }=0}
eftersom
L
1
(
N
)
=
0
{\displaystyle {\mathcal {L}}_{1}(\mathbb {N} )=0}
men
‖
1
N
⋅
exp
‖
∞
=
∞
{\displaystyle \|\mathbf {1} _{\mathbb {N} }\cdot \exp \|_{\infty }=\infty }
eftersom
exp
(
n
)
→
∞
{\displaystyle \exp(n)\rightarrow \infty }
när
n
→
∞
{\displaystyle n\rightarrow \infty }
.
Följaktligen kan man generalisera
B
(
X
,
R
)
∩
M
(
X
,
R
)
{\displaystyle {\mathcal {B}}(X,\mathbb {R} )\cap {\mathcal {M}}(X,\mathbb {R} )}
. Låt
L
∞
=
L
∞
(
X
,
F
,
μ
)
:=
{
f
∈
M
(
X
,
R
)
:
‖
f
‖
∞
e
s
s
<
∞
}
.
{\displaystyle L^{\infty }=L^{\infty }(X,{\mathcal {F}},\mu ):=\{f\in {\mathcal {M}}(X,\mathbb {R} ):\|f\|_{\infty }^{\mathrm {ess} }<\infty \}.}
Så att
B
(
X
,
R
)
∩
M
(
X
,
R
)
⊂
L
∞
{\displaystyle {\mathcal {B}}(X,\mathbb {R} )\cap {\mathcal {M}}(X,\mathbb {R} )\subset L^{\infty }}
och
(
L
∞
,
‖
⋅
‖
∞
e
s
s
)
{\displaystyle (L^{\infty },\|\cdot \|_{\infty }^{\mathrm {ess} })}
är ett seminormerat rum. Man kan transformera
(
L
∞
,
‖
⋅
‖
∞
e
s
s
)
{\displaystyle (L^{\infty },\|\cdot \|_{\infty }^{\mathrm {ess} })}
till ett normerat rum med ekvivalensrelationen
∼
{\displaystyle \sim \,}
ovan.
Relation till andra normer
redigera
Om f är en funktion så att
‖
f
‖
p
<
∞
{\displaystyle \|f\|_{p}<\infty \,}
och
‖
f
‖
∞
ess
<
∞
{\displaystyle \|f\|_{\infty }^{\text{ess}}<\infty }
så gäller att
lim
q
→
∞
‖
f
‖
q
=
‖
f
‖
∞
ess
{\displaystyle \lim _{q\to \infty }\|f\|_{q}=\|f\|_{\infty }^{\text{ess}}}
.
Låt
q
{\displaystyle q}
vara större än
p
{\displaystyle p}
.
‖
f
‖
q
=
(
∫
|
f
|
q
)
1
/
q
=
(
∫
|
f
|
p
|
f
|
q
−
p
)
1
/
q
{\displaystyle \|f\|_{q}=\left(\int |f|^{q}\right)^{1/q}=\left(\int |f|^{p}|f|^{q-p}\right)^{1/q}}
Eftersom
q
−
p
>
0
{\displaystyle q-p>0}
är detta mindre än
(
∫
|
f
|
p
‖
f
‖
∞
q
−
p
)
1
/
q
=
‖
f
‖
∞
1
−
p
/
q
(
∫
|
f
|
p
)
1
/
q
{\displaystyle \left(\int |f|^{p}\|f\|_{\infty }^{q-p}\right)^{1/q}=\|f\|_{\infty }^{1-p/q}\left(\int |f|^{p}\right)^{1/q}}
Eftersom
1
−
p
/
q
>
0
{\displaystyle 1-p/q>0}
är detta mindre än
‖
f
‖
∞
(
∫
|
f
|
p
)
1
/
q
→
‖
f
‖
∞
{\displaystyle \|f\|_{\infty }\left(\int |f|^{p}\right)^{1/q}\to \|f\|_{\infty }}
när
q
→
∞
{\displaystyle q\to \infty \,}
För den omvända olikheten, definiera
E
=
{
x
|
f
(
x
)
>
a
}
{\displaystyle E=\{x|f(x)>a\}\,}
. Då är
‖
f
‖
q
≥
(
∫
E
|
f
|
q
)
1
/
q
≥
a
μ
(
E
)
1
/
q
→
a
{\displaystyle \|f\|_{q}\geq \left(\int _{E}|f|^{q}\right)^{1/q}\geq a\mu (E)^{1/q}\to a}
när
q
→
∞
{\displaystyle q\to \infty \,}
.
Detta gäller för alla
a
<
‖
f
‖
∞
{\displaystyle a<\|f\|_{\infty }}
.