Sluten differentialform

En differentialform $\omega =u_{1}({\bar {x}})dx_{1}+u_{2}({\bar {x}})dx_{2}+\cdots +u_{k}({\bar {x}})dx_{k}$ av klass ${\textbf {C}}^{1}$ (minst en gång kontinuerligt deriverbar) säges vara sluten om

${\frac {\partial u_{i}}{\partial x_{j}}}={\frac {\partial u_{j}}{\partial x_{i}}}$

eller, i annan formalism, om $d\omega =0$. d betecknar här den yttre derivatan. Notera att om $\omega$ är en k-form är $d\omega$ en k+1-form.

Vi ser att en differentialform i ${\textbf {R}}^{3}$ är sluten om och endast om det motsvarande vektorfältet är rotationsfritt ($\nabla \times {\bar {u}}=0$).

Relation mellan slutna och exakta differentialformer

En exakt differentialform är alltid sluten, eftersom $d^{2}\omega =0$ för varje differentialform $\omega$.

I ett enkelt sammanhängande område, och i synnerhet i ett stjärnformat område, är varje sluten differentialform exakt enligt Poincarés lemma.

I allmänhet gäller dock inte att varje sluten differentialform är exakt, och inom topologi studeras detta med hjälp av de Rhamkohomologi.

de Rhamkohomologi

Låt M vara en mångfald, och låt mängden av k-former på M betecknas med $\Omega (M)$. Vi låter nu $d_{k}$ beteckna den yttre derivatan, verkande på k-former på M: $d_{k}:\Omega ^{k}(M)\rightarrow \Omega ^{k+1}(M)$

Den k:te de Rhamkohomologigruppen $H_{dR}^{k}(M)$ definieras nu som ${\frac {\ker(d_{k})}{im(d_{k-1})}}$, eller med andra ord mängden av slutna differentialformer modulo exakta former.

Exempel: För en n-sfär $\mathbf {S} ^{n}$ gäller att $H_{dR}^{0}(S^{n})\cong H_{dR}^{n}(S^{n})\cong \mathbb {R}$, medan $H_{dR}^{k}(S^{n})=0$ för alla andra k. För sådana k är alltså alla slutna differentialformer exakta.