Radon-Nikodyms sats

Radon-Nikodyms sats är ett resultat inom integrationsteori som säger att om (X,Σ) är en σ-algebra, μ är ett $\sigma$-ändligt mått på (X,Σ) och v är ett annat mått på $X$ som uppfyller att $\nu (A)=0$ för alla mätbara mängder A sådana att $\mu (A)=0$, så finns en mätbar funktion med värdemängd i [0,∞) f sådan att

$\nu (E)=\int _{E}f\ d\mu$

för alla mätbara mängder E.

Terminologi och notation

Om måttet v uppfyller att $\nu (A)=0$ närhelst $\mu (A)=0$ sägs det vara absolutkontinuerligt med avseende på μ. Detta kan också skrivas ν ≪ μ. Slutsatsen i Radon-Nikodyms sats kan uttryckas som att $d\nu =f\ d\mu$ för någon funktion f. Funktionen f är inte i allmänhet entydigt bestämd men två olika val av f måste vara lika nästan överallt.

Funktionen f kallas ofta för Radon-Nikodym-derivatan av v med avseende på μ och kan skrivas ${\frac {d\nu }{d\mu }}$. (Formellt sett är det en klass av funktioner man betecknar på detta vis vars element parvis skiljer sig åt på en nollmängd.)

Radon-Nikodym-derivatans egenskaper

Radon-Nikodym-derivatan har kopplingar till den vanliga derivatan och delar flera av dess egenskaper.

• Om ν ≪ μ ≪ λ så gäller att

${\frac {d\nu }{d\lambda }}={\frac {d\nu }{d\mu }}{\frac {d\mu }{d\lambda }}.$

• Om ν ≪ λ och μ ≪ λ så gäller att

${\frac {d(\nu +\mu )}{d\lambda }}={\frac {d\nu }{d\lambda }}+{\frac {d\mu }{.}}$

• Om μ ≪ λ och g är en μ-integrerbar funktion gäller att

$\int _{X}g\,d\mu =\int _{X}g{\frac {d\mu }{d\lambda }}\,d\lambda .$

• Om μ ≪ ν ochd ν ≪ μ, så gäller att

${\frac {d\mu }{d\nu }}=\left({\frac {d\nu }{d\mu }}\right)^{-1}.$

Antagandet om σ-ändlighet

Radon-Nikodyms sats är inte sann i allmänhet utan antagandet om att μ är σ-ändlig. Låt nämligen μ vara kardinalitetmåttet på de reella talen och låt m vara det vanliga Lebesgue-måttet. m är absolut-kontinuerligt med avseende på μ men det finns ingen funktion f så att

$m(A)=\int _{A}f\ d\mu$

för alla mätbara mängder A.

Referenser

• G. B. Folland, Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications, John Wiley and Sons 1999 ISBN 0-471-31716-0