Produkt-sigma-algebra
redigera
Låt
(
X
i
,
F
i
)
{\displaystyle (X_{i},{\mathcal {F}}_{i})}
i
∈
I
{\displaystyle i\in I\,}
familj av mätbara rum . Indexmängden
I
{\displaystyle I\,}
ouppräknelig . Låt X vara en cartesisk produkt av mängderna
X
i
{\displaystyle X_{i}\,}
X
:=
∏
i
∈
I
X
i
=
{
(
x
i
)
i
∈
I
:
x
i
∈
X
i
,
i
∈
I
}
.
{\displaystyle X:=\prod _{i\in I}X_{i}=\{(x_{i})_{i\in I}:x_{i}\in X_{i},\ i\in I\}.\,}
En mängd
A
⊂
X
{\displaystyle A\subset X\,}
kon om det finns en ändlig mängd
K
A
⊂
I
{\displaystyle K_{A}\subset I\,}
A
k
⊂
X
k
{\displaystyle A_{k}\subset X_{k}\,}
k
∈
K
A
{\displaystyle k\in K_{A}\,}
A
=
{
(
x
i
)
i
∈
I
∈
X
:
x
k
∈
A
k
,
k
∈
K
A
}
.
{\displaystyle A=\{(x_{i})_{i\in I}\in X:x_{k}\in A_{k},\ k\in K_{A}\}.}
Med andra ord är konen en produkt:
A
=
∏
i
∈
I
Y
i
{\displaystyle A=\prod _{i\in I}Y_{i}}
där
Y
i
:=
{
A
i
,
i
∈
K
A
,
X
i
,
i
∉
K
A
.
{\displaystyle Y_{i}:={\begin{cases}A_{i},&i\in K_{A},\\X_{i},&i\notin K_{A}.\end{cases}}}
d.v.s. bara ett ändlig antal av
Y
i
{\displaystyle Y_{i}\,}
X
i
{\displaystyle X_{i}\,}
En kon
A
=
{
(
x
i
)
i
∈
I
∈
X
:
x
k
∈
A
k
,
k
∈
K
A
}
{\displaystyle A=\{(x_{i})_{i\in I}\in X:x_{k}\in A_{k},\ k\in K_{A}\}}
mätbar kon om
A
k
∈
F
k
{\displaystyle A_{k}\in {\mathcal {F}}_{k}\,}
för alla
k
∈
K
A
{\displaystyle k\in K_{A}\,}
Låt
K
{\displaystyle {\mathcal {K}}\,}
En produkt-sigma-algebra ,
F
{\displaystyle {\mathcal {F}}}
genererad av alla mätbara koner. Mer precist, en produkt-sigma-algebra är
F
:=
∏
i
∈
I
F
i
=
σ
(
K
)
.
{\displaystyle {\mathcal {F}}:=\prod _{i\in I}{\mathcal {F}}_{i}=\sigma ({\mathcal {K}}).}
Detta innebär att produkt-sigma-algebran är den minsta av de sigma-algebror som har alla mätbara koner som en del av sig.
När
I
=
{
1
,
2
,
.
.
.
,
k
}
{\displaystyle I=\{1,2,...,k\}\,}
F
1
⊗
F
2
⊗
.
.
.
⊗
F
k
.
{\displaystyle {\mathcal {F}}_{1}\otimes {\mathcal {F}}_{2}\otimes ...\otimes {\mathcal {F}}_{k}.}
Man definierar produktmåttet med hjälp av mätbara koner.
Låt
(
X
i
,
F
i
,
μ
i
)
{\displaystyle (X_{i},{\mathcal {F}}_{i},\mu _{i})}
i
∈
I
{\displaystyle i\in I\,}
sigma-ändliga måttrum . Man behöver sigma-ändlighet här eftersom produktmåttet inte är unikt med icke-sigma-ändliga måttrum.
För en kon
A
=
{
(
x
i
)
i
∈
I
∈
X
:
x
k
∈
A
k
,
k
∈
K
A
}
.
{\displaystyle A=\{(x_{i})_{i\in I}\in X:x_{k}\in A_{k},\ k\in K_{A}\}.}
definiera ett "mått"
τ
(
A
)
:=
∏
k
∈
K
A
μ
k
(
A
k
)
.
{\displaystyle \tau (A):=\prod _{k\in K_{A}}\mu _{k}(A_{k}).\,}
Den här funktionen
τ
:
K
→
[
0
,
∞
]
{\displaystyle \tau :{\mathcal {K}}\rightarrow [0,\infty ]\,}
sigma-additiv och
τ
(
∅
)
=
0
{\displaystyle \tau (\varnothing )=0\,}
mått eftersom mätbara koner
K
{\displaystyle {\mathcal {K}}\,}
Å andra sidan det går att visa att
K
{\displaystyle {\mathcal {K}}\,}
algebra , dvs
X
∈
K
,
{\displaystyle X\in {\mathcal {K}},\,}
A
∈
K
⇒
X
∖
A
∈
K
{\displaystyle A\in {\mathcal {K}}\Rightarrow X\setminus A\in {\mathcal {K}}\,}
A
,
B
∈
K
⇒
A
∪
B
∈
K
{\displaystyle A,B\in {\mathcal {K}}\Rightarrow A\cup B\in {\mathcal {K}}\,}
Dessutom är produkt sigma-algebran genererad av en algebra
K
{\displaystyle {\mathcal {K}}\,}
Carathéodorys utvidgningsats , innebär detta att det finns en unik utvidgning,
μ
:
F
→
[
0
,
∞
]
{\displaystyle \mu :{\mathcal {F}}\rightarrow [0,\infty ]\,}
τ
{\displaystyle \tau \,}
produktmåttet . Det är ofta betecknat
μ
:=
∏
i
∈
I
μ
i
,
{\displaystyle \mu :=\prod _{i\in I}\mu _{i},}
så att en trippel
(
X
,
F
,
μ
)
=
(
∏
i
∈
I
X
i
,
∏
i
∈
I
F
i
,
∏
i
∈
I
μ
i
)
{\displaystyle (X,{\mathcal {F}},\mu )=\left(\ \prod _{i\in I}X_{i}\ ,\ \prod _{i\in I}{\mathcal {F}}_{i}\ ,\ \prod _{i\in I}\mu _{i}\ \right)}
är ett måttrum.
När
I
=
{
1
,
2
,
.
.
.
,
k
}
{\displaystyle I=\{1,2,...,k\}\,}
μ
1
×
μ
2
×
.
.
.
×
μ
k
.
{\displaystyle \mu _{1}\times \mu _{2}\times ...\times \mu _{k}.}
Lebesguemåttet i
R
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
n
≥
2
{\displaystyle n\geq 2\,}
inte ett produktmått. Intuitionen sägar att
L
n
=
L
1
×
.
.
.
×
L
1
{\displaystyle {\mathcal {L}}_{n}={\mathcal {L}}_{1}\times ...\times {\mathcal {L}}_{1}}
men det är inte så för alla Lebesguemätbara mängder. Till exempel låt
n
=
2
{\displaystyle n=2\,}
N
⊂
R
{\displaystyle N\subset \mathbb {R} }
icke-Lebesguemätbar mängd . Så att mängden
A
:=
{
0
}
×
N
{\displaystyle A:=\{0\}\times N}
är
L
2
{\displaystyle {\mathcal {L}}_{2}}
L
2
(
A
)
=
0
{\displaystyle {\mathcal {L}}_{2}(A)=0\,}
Å andra sidan det är icke
L
1
×
L
1
{\displaystyle {\mathcal {L}}_{1}\times {\mathcal {L}}_{1}}
A
∉
[
Leb
R
]
⊗
[
Leb
R
]
{\displaystyle A\notin [{\mbox{Leb}}\,\mathbb {R} ]\otimes [{\mbox{Leb}}\,\mathbb {R} ]}
Så att
L
2
≠
L
1
×
L
1
.
{\displaystyle {\mathcal {L}}_{2}\neq {\mathcal {L}}_{1}\times {\mathcal {L}}_{1}.}
Å andra sidan är Lebesguemåttet produktmåttet när man bara använder Borelmängder . Det går att visa att
Bor
R
n
=
[
Bor
R
]
⊗
[
Bor
R
]
⊗
.
.
.
⊗
[
Bor
R
]
,
{\displaystyle {\mbox{Bor}}\,\mathbb {R} ^{n}=[{\mbox{Bor}}\,\mathbb {R} ]\otimes [{\mbox{Bor}}\,\mathbb {R} ]\otimes ...\otimes [{\mbox{Bor}}\,\mathbb {R} ],}
och för alla
[
Bor
R
]
{\displaystyle [{\mbox{Bor}}\,\mathbb {R} ]}
A
⊂
R
n
{\displaystyle A\subset \mathbb {R} ^{n}}
L
n
(
A
)
=
(
L
1
×
L
1
×
.
.
.
×
L
1
)
(
A
)
{\displaystyle {\mathcal {L}}_{n}(A)=({\mathcal {L}}_{1}\times {\mathcal {L}}_{1}\times ...\times {\mathcal {L}}_{1})(A)}
Så att
L
n
|
Bor
R
n
=
[
L
1
|
Bor
R
]
×
[
L
1
|
Bor
R
]
×
.
.
.
×
[
L
1
|
Bor
R
]
,
{\displaystyle {\mathcal {L}}_{n}|{\mbox{Bor}}\,\mathbb {R} ^{n}=[{\mathcal {L}}_{1}|{\mbox{Bor}}\,\mathbb {R} ]\times [{\mathcal {L}}_{1}|{\mbox{Bor}}\,\mathbb {R} ]\times ...\times [{\mathcal {L}}_{1}|{\mbox{Bor}}\,\mathbb {R} ],}
eftersom produktmåttet är en unik utvidgning.
En viktig tillämpning för produktmåttet är Fubinis sats . Det sägar att man kan ändra integrerordningen . Låt
(
X
,
F
,
μ
)
{\displaystyle (X,{\mathcal {F}},\mu )}
(
Y
,
G
,
ν
)
{\displaystyle (Y,{\mathcal {G}},\nu )}
μ
×
ν
{\displaystyle \mu \times \nu \,}
Fubinis sats säger att om
f
:
X
×
Y
→
R
¯
{\displaystyle f:X\times Y\rightarrow {\overline {\mathbb {R} }}}
integrerbar med avseende på produktmåttet
μ
×
ν
{\displaystyle \mu \times \nu \,}
∫
|
f
|
d
(
μ
×
ν
)
<
∞
,
{\displaystyle \int |f|\,d(\mu \times \nu )<\infty ,}
så är
∫
f
d
(
μ
×
ν
)
=
∬
f
(
x
,
y
)
d
μ
(
x
)
d
ν
(
y
)
=
∬
f
(
x
,
y
)
d
ν
(
y
)
d
μ
(
x
)
.
{\displaystyle \int f\,d(\mu \times \nu )=\iint f(x,y)\,d\mu (x)\,d\nu (y)=\iint f(x,y)\,d\nu (y)\,d\mu (x).}
P. Halmos, Measure theory , D. van Nostrand and Co., 1950. 
![{\displaystyle \tau :{\mathcal {K}}\rightarrow [0,\infty ]\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2fb95f72f360c935caae92476541a5447af59879)
![{\displaystyle \mu :{\mathcal {F}}\rightarrow [0,\infty ]\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1ccc93a743e460a20aa80df8f8b2be8af2271b6d)
![{\displaystyle A\notin [{\mbox{Leb}}\,\mathbb {R} ]\otimes [{\mbox{Leb}}\,\mathbb {R} ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/de60af8a554a02d320519046e5b83998a7929ab8)
![{\displaystyle {\mbox{Bor}}\,\mathbb {R} ^{n}=[{\mbox{Bor}}\,\mathbb {R} ]\otimes [{\mbox{Bor}}\,\mathbb {R} ]\otimes ...\otimes [{\mbox{Bor}}\,\mathbb {R} ],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e46e37f40afe7584535cab35b39cad87f4470edc)
![{\displaystyle [{\mbox{Bor}}\,\mathbb {R} ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/01495953eabb292d5abf316857dc50ba7a7056e6)
![{\displaystyle {\mathcal {L}}_{n}|{\mbox{Bor}}\,\mathbb {R} ^{n}=[{\mathcal {L}}_{1}|{\mbox{Bor}}\,\mathbb {R} ]\times [{\mathcal {L}}_{1}|{\mbox{Bor}}\,\mathbb {R} ]\times ...\times [{\mathcal {L}}_{1}|{\mbox{Bor}}\,\mathbb {R} ],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7276d4fa1864448d4058c6b737a8494ecb77da9f)
