Poissons ekvation

Poissons ekvation, en partiell differentialekvation. Dess allmänna form är:

$\nabla ^{2}u=f$

där $\nabla ^{2}$ är Laplaceoperatorn, och f är en godtycklig funktion. I ett tredimensionellt rum med kartesiska koordinater skrivs den

${\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial z^{2}}}=f$.

Laplaces ekvation är ett specialfall av Poissons ekvation, med f=0.

Exempel

Ekvationen används till exempel inom elektrostatiken i formen

$\nabla ^{2}V=-{\frac {\rho }{\varepsilon }}$

Där V är den elektriska potentialen, $\varepsilon$ är permittiviteten hos mediet (som är konstant) och $\rho$ är volymdensiteten för fria laddningar.