Moore–Penroses pseudoinvers är inom linjär algebra en generalisering av vissa egenskaper hos matrisinversen för icke-kvadratiska matriser, uppkallad efter Eliakim Hastings Moore och Roger Penrose, som beskrev den oberoende av varandra 1920 respektive 1955.

Definition redigera

Moore–Penroses pseudoinvers till en matris   är en matris   som uppfyller:

  1.         (  behöver inte vara en enhetsmatris, men ska avbilda alla kolonnvektorer i   på sig själva);
  2.         (  is är en svag invers för den multiplikativa semigruppen);
  3.         (  är en hermitesk matris)
  4.         (  är också hermitesk).

  är det hermiteska konjugatet till  . För reella matriser är detta samma sak som transponatet.

Egenskaper redigera

Givet en matris   med Moore–Penroses pseudoinvers  , gäller följande:

  •   är unik.
  • Om   är en inverterbar matris, är  .
  • Pseudoinversen av pseudoinversen är den ursprungliga matrisen,  .
  •   är en ortogonal projektion s värderum.
  •   är en ortogonal projektion på  s värderum.
  • Pseudoinversen till en nollmatris är dess transponat.

Specialfall redigera

Ortonormala rader och kolonner redigera

Om   har ortonormala kolonnvektorer ( ) eller ortonormala radvektorer (  så är  ).

Linjärt oberoende kolonner och rader redigera

Om kolonnerna i   är linjärt oberoende är   inverterbar och Moore–Penroses pseudoinvers kan beräknas med:

 .

Det följer då att   är vänsterinvers till  .

Om raderna i   är linjärt oberoende är   inverterbar och Moore–Penroses pseudoinvers kan beräknas med:

 .

Det följer då att   är högerinvers till  .

Beräkning redigera

Singulärvärdesfaktorisering redigera

Om matrisen   har singulärvärdesfaktoriseringen   så fås  . Pseudoinversen av  , som är en "nästan diagonal" matris med matrisens singulärvärden i diagonalen, genom att ersätta varje element   i diagonalen med  . Exempel:

 

Tillämpningar redigera

Moore–Penroses pseudoinvers ger en minsta kvadrat-lösning till system av linjära ekvationer. Om systemet ges av   ges minsta kvadrat-lösningen av  .