Markovs olikhet

Markovs olikhet är, inom sannolikhetsteorin, en uppskattning av en sannolikhet med hjälp av ett väntevärde:

Låt $(\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )$ vara ett sannolikhetsrum och $X:\Omega \longrightarrow \mathbb {R}$ en stokastisk variabel på detta rum. Om $h:\mathbb {R} \longrightarrow [0,\infty )$ är en mätbar funktion så gäller, för varje tal $\varepsilon >0$, följande uppskattning av sannolikheten $\mathbb {P} \{h(X)\geq \varepsilon \}$:

$\mathbb {P} \{h(X)\geq \varepsilon \}\leq {\frac {1}{\varepsilon }}\mathbb {E} \{h(X)\}.$

Bevis av Markovs olikhet

Välj ett godtyckligt tal $\varepsilon >0$ och definiera mängden

$A=\{\omega \in \Omega :h(X(\omega ))\geq \varepsilon \}=\{\omega \in \Omega :(h\circ X)(\omega )\in [\varepsilon ,\infty )\}.$

Sannolikhetsmåttet $\mathbb {P}$ är en mängdfunktion

$\mathbb {P} :{\mathcal {F}}\longrightarrow [0,1]$

på sigma-algebran ${\mathcal {F}}$. För att vi skall kunna tala om sannolikheten för händelsen A, måste mängden A vara ett element i sigma-algebran ${\mathcal {F}}$. Den sista formuleringen av mängden A visar att vi kan skriva

$A=(h\circ X)^{-1}([\varepsilon ,\infty ))=X^{-1}\left(h^{-1}([\varepsilon ,\infty ))\right).$

Mängden $M=h^{-1}([\varepsilon ,\infty ))$ är ett element i Borel sigma-algebran ${\mathcal {B}}_{\mathbb {R} }$, eftersom funktionen

$h:\mathbb {R} \longrightarrow [0,\infty )$

är mätbar.

Den för oss intressanta mängden A kan uttryckas med hjälp av mängden M enligt:

$A=X^{-1}(M).$

Vi vet att

$X:\Omega \longrightarrow \mathbb {R}$

är en stokastisk variabel, det vill säga: den är en mätbar funktion. Detta innebär att mängden $X^{-1}(M)$ är ett element i sigma-algebran ${\mathcal {F}}$ och därmed är sannolikheten

$\mathbb {P} \{A\}=\mathbb {P} \{X^{-1}(M)\}$

definierad. Eftersom en sigma-algebra är sluten under komplement-bildning är mängden

$A^{c}=\Omega \setminus A$

också ett element i ${\mathcal {F}}.$

För att visa Markovs olikhet skriver vi den stokastiska variabeln $h(X)$ som en summa av två stokastiska variabler, beroende på om $h(X)$ är större än talet $\varepsilon$ eller ej:

$h(X)=h(X)1_{A}+\underbrace {h(X)1_{A^{c}}} _{\geq 0},$

där den andra termen är icke-negativ eftersom funktionen h endast antar icke-negativa värden.

Detta innebär att vi har olikheten

$h(X)\geq h(X)1_{A}.$

På mängden A är den stokastiska variabeln $h(X)$ större än, eller lika med, talet $\varepsilon$, vilket ger uppskattningen

$h(X)1_{A}\geq \varepsilon 1_{A}.$

Genom att beräkna väntevärdena av de båda sidorna i olikheten

$h(X)\geq \varepsilon 1_{A}$

och utnyttja sambandet

$\mathbb {E} \{1_{A}\}=\mathbb {P} (A),$

fullbordas beviset av Markovs olikhet:

$\mathbb {E} \{h(X)\}\geq \mathbb {E} \{\varepsilon 1_{A}\}=\varepsilon \mathbb {E} \{1_{A}\}=\varepsilon \mathbb {P} \{A\}.$

Tillämpningar av Markovs olikhet

Ofta är man intresserad av att uppskatta sannolikheter av typen $\mathbb {P} \{\vert X\vert \geq \varepsilon \}.$

Markovs olikhet kan då tillämpas med den mätbara funktionen $h:\mathbb {R} \longrightarrow [0,\infty ),$ definierad av

$h(x)=\vert x\vert$(absolutbeloppet av det reella talet x).

Olikheten ger den övre begränsningen

$\mathbb {P} \{\vert X\vert \geq \varepsilon \}\leq {\frac {1}{\varepsilon }}\mathbb {E} \{\vert X\vert \}.$

För att denna uppskattning skall vara meningsfull måste väntevärdet $\mathbb {E} \{\vert X\vert \}$ vara ändligt: annars får man den oanvändbara olikheten $\mathbb {P} \{\vert X\vert \geq \varepsilon \}\leq \infty .$

Om man dessutom vet att väntevärdet $\mathbb {E} \{X^{2}\}$ är ändligt kan man få en bättre uppskattning av sannolikheten $\mathbb {P} \{\vert X\vert \geq \varepsilon \}$ genom att man kan dividera med talet $\varepsilon ^{2}$ istället för med talet $\varepsilon$:

$\mathbb {P} \{\vert X\vert \geq \varepsilon \}=\mathbb {P} \{X^{2}\geq \varepsilon ^{2}\}\leq {\frac {1}{\varepsilon ^{2}}}\mathbb {E} \{X^{2}\};$

Den första likheten kommer av att om x är ett reellt tal och a > 0, så gäller ekvivalensen

$\vert x\vert >a\Longleftrightarrow x^{2}>a^{2}.$

Uppskattningen

$\mathbb {P} \{\vert X\vert \geq \varepsilon \}\leq {\frac {1}{\varepsilon ^{2}}}\mathbb {E} \{X^{2}\}$

går under namnet Чебышёв (Tjebyshov) olikhet, och är även den ofta använd vid uppskattning av sannolikheter.