Lognormalfördelning

Lognormalfördelningen är en sannolikhetsfördelning som förekommer inom matematisk statistik. Den beskriver fördelningen för en stokastisk variabel vars logaritm är normalfördelad. Med andra ord, om Y är en normalfördelad stokastisk variabel, är X = exp(Y) lognormalfördelad.

Täthetsfunktionen för lognormalfördelningen.

Definition

En lognormalfördelad stokastisk variabel kan definieras med hjälp av täthetsfunktionen

$f(x;\mu ,\sigma )={\frac {1}{x\sigma {\sqrt {2\pi }}}}e^{-{\frac {(\ln(x)-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}}$

där $\mu$ och $\sigma$ är parametrar i den normalfördelade stokastiska variabel som ges av logaritmen.

Egenskaper

En lognormalfördelad stokastisk variabel har väntevärde

$\mathrm {E} (X)=e^{\mu +\sigma ^{2}/2}$

och varians

$\mathrm {Var} (X)=(e^{\sigma ^{2}}-1)e^{2\mu +\sigma ^{2}}.\,$

Fördelningen har moment av alla ordningar, men ingen momentgenererande funktion. Det gäller också att produkter av oberoende lognormalfördelade stokastiska variabler är lognormalfördelade. Om

$X_{m}\sim \operatorname {Log-N} (\mu ,\sigma _{m}^{2}),\ m=1,\dots ,n$

är oberoende och lognormalfördelade variabler med samma μ-parameter, men inte nödvändigtvis samma σ, och $Y=\prod _{m=1}^{n}X_{m}$, så är

$Y\sim \operatorname {Log-N} \left(n\mu ,\sum _{m=1}^{n}\sigma _{m}^{2}\right)$.

Däremot är inte summan av oberoende lognormalfödelade stokastiska variabler lognormalfördelad.

Externa länkar

• Wikimedia Commons har media som rör Lognormalfördelning.
  Bilder & media