Kedjeregeln

Kedjeregeln är inom matematisk analys en regel för derivering av sammansatta funktioner, det vill säga, om f och g är funktioner, då anger kedjeregeln derivatan av deras sammansättning  f ∘ g (funktionen som avbildar x på f(g(x)) i termer av derivator av f och g och produkten av funktioner enligt

$(f\circ g)'=(f'\circ g)\cdot g'$

Detta kan mer explicit uttryckas i termer av variabeln x. Låt F = f ∘ g, eller ekvivalent, F(x) = f(g(x)) för alla x. Kedjeregeln kan då skrivas

$F'(x)=f'(g(x))\,g'(x)$

Kedjeregeln kan också skrivas med Leibniz notation: låt z vara en funktion av variabeln y, vilken själv är en funktion av x (y och z är därmed beroende variabler) och därmed blir även z en funktion av x:

${\frac {dz}{dx}}={\frac {dz}{dy}}\cdot {\frac {dy}{dx}}$

Funktioner av en variabel

Om

$y=f(u)$ och $u=g(x)$, så att $y=f(g(x))$,

anger kedjeregeln att

${d \over dx}\,f(g(x))=f^{\prime }(g(x))\,g^{\prime }(x),$

där $g'(x)$ kallas f:s inre derivata.

Med Leibniz notation skrivs detta

${dy \over dx}={dy \over dg}{dg \over dx},$

då ${\frac {dg}{dx}}$ är den inre derivatan.

Funktioner av flera variabler

Inom flervariabelanalys fungerar kedjeregeln på ett liknande sätt.

Om

$y=f(\mathbf {u} (x))$ och $\mathbf {u} (x)=(u_{1}(x),...,u_{n}(x))$

så är

${\frac {dy}{dx}}={\frac {\partial f}{\partial u_{1}}}{\frac {du_{1}}{dx}}+...+{\frac {\partial f}{\partial u_{n}}}{\frac {du_{n}}{dx}}$.

Eftersom gradienten

$\nabla f=\left({\frac {\partial f}{\partial u_{1}}},...,{\frac {\partial f}{\partial u_{n}}}\right)$

och derivatan av den inre funktionen u är

$\mathbf {u} '(x)=\left({\frac {du_{1}}{dx}},...,{\frac {du_{n}}{dx}}\right)$

inser vi att derivatan ${\frac {dy}{dx}}$ kan skrivas som en skalärprodukt enligt

${\frac {dy}{dx}}=\nabla f\cdot \mathbf {u} '$.