Kardinalitet
 |
Den här artikeln eller det här avsnittet anses vara onödigt fackspråklig. (2017-07) Motivering: Den här artikeln är mycket svårläst för någon som inte är bekant med ämnet. Den förklarar inte ens sin kontext. Hjälp gärna Wikipedia med att förtydliga texten och göra den mer lättläst. Se eventuellt diskussionssidan för mer information. Om artikeln inte åtgärdats inom tre år från dess att den märkts upp kan den komma att raderas. |
 |
Den här artikeln behöver källhänvisningar för att kunna verifieras. (2016-08) Åtgärda genom att lägga till pålitliga källor (gärna som fotnoter). Uppgifter utan källhänvisning kan ifrågasättas och tas bort utan att det behöver diskuteras på diskussionssidan. |
Kardinalitet eller mäktighet[1] är ett begrepp från mängdlära. Kardinaliteten är ett mått på storleken av en mängd M och betecknas ofta | M | eller #M, i enklaste fallet antalet element i en mängd . Både ändliga och oändliga mängder har kardinaliteter och kardinalitetens icke-triviala användning är att jämföra olika oändliga mängder. Oändliga mängder kan enligt mängdläran vara olika stora, och här kommer begreppet kardinalitet in. Om M är ändlig är alltså kardinaliteten av M samma sak som antalet element i mängden. Till varje kardinalitet hör ett kardinaltal.
Två mängder har samma kardinalitet om det finns minst en bijektion mellan dem. Detta innebär alltså att ändliga mängder som har samma antal element har samma kardinalitet, vilket kan tyckas självklart, men vitsen med att definiera denna relation på detta sätt är att även oändliga mängder kan jämföras.
Den minsta kardinaliteten (kardinaltalet) är 0. Den tomma mängden har denna kardinalitet. Nästa större kardinalitet är 1 som är kardinaliteten för varje mängd med exakt ett element, och nästa kardinalitet är 2 som är kardinaliteten för varje mängd med exakt två element och så vidare. {X, Y, Z, W} har kardinaltalet 4. Varje naturligt tal n är alltså ett kardinaltal för alla mängder med n stycken element.
För oändliga mängder räcker inte de naturliga talen till som kardinaltal. N (mängden av de naturliga talen) har kardinaltalet Alef-0, eller ℵ0. Alef-0 är det minsta oändliga kardinaltalet och betecknar en uppräknelig oändlighet. Z (mängden av heltalen) och Q (mängden av de rationella talen) har också kardinalitet Alef-0, vilket kan visas genom att hitta ett sätt att räkna upp dem (d.v.s. ordna ett naturligt tal till varje element i respektive mängd). Nästa större kardinalitet är ℵ1, sedan kommer ℵ2, ℵ3 osv. Mängder av dessa kardinaliteter är överuppräkneliga. Kardinaliteten av R (de reella talen), som kallas kontinuum och betecknas med lilla c tillhör dessa. Enligt den oavgörbara Kontinuumhypotesen finns dessutom inga kardinaltal mellan Kontinuum och Alef-0, d.v.s. c är lika med ℵ1.
Det finns ingen övre gräns på hur stora kardinaltal vi kan bilda, se Cantors sats.