En central binomialkoefficient är inom matematiken ett tal på formen
1 2 6 20
A n = ( 2 n n ) = 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋯ ( 2 n − 1 ) ⋅ ( 2 n ) ( 1 ⋅ 2 ⋯ n ) ⋅ ( 1 ⋅ 2 ⋯ n ) {\displaystyle A_{n}={2n \choose n}={\frac {1\cdot 2\cdot 3\cdots (2n-1)\cdot (2n)}{(1\cdot 2\cdots n)\cdot (1\cdot 2\cdots n)}}} där n är ett heltal och ( m k ) {\displaystyle {\begin{matrix}{m \choose k}\end{matrix}}} binomialkoefficient . Exempelvis är
A 3 = 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4 ⋅ 5 ⋅ 6 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 1 ⋅ 2 ⋅ 3 = 20. {\displaystyle A_{3}={\frac {1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5\cdot 6}{1\cdot 2\cdot 3\cdot 1\cdot 2\cdot 3}}=20.} Heltalsföljden av centrala binomialkoefficienter för n = 0, 1, 2, ... börjar 1, 2, 6, 20, 70, 252, 924, 3432, 12870, 48620, ... (talföljd A000984 i OEIS ). De centrala binomialkoefficienterna utgör den centrala kolumnen i Pascals triangel .
Alternativa representationer
redigera
En central binomialkoefficient kan skrivas med fakulteter som
A n = ( 2 n ) ! ( n ! ) 2 {\displaystyle A_{n}={\frac {(2n)!}{(n!)^{2}}}} och med en semifakultet som
A n = 2 n ( 2 n − 1 ) ! ! n ! . {\displaystyle A_{n}={\frac {2^{n}(2n-1)!!}{n!}}.} De centrala binomialkoefficienterna är intimt förbundna med catalantalen C n
C n = 1 n + 1 A n . {\displaystyle C_{n}={\frac {1}{n+1}}A_{n}.} Storleksuppskattning
redigera
Enligt Stirlings formel gäller
1 2 4 n π n < A n < 2 4 n π n . {\displaystyle {\frac {1}{2}}{\frac {4^{n}}{\sqrt {\pi n}}}<A_{n}<{\sqrt {2}}{\frac {4^{n}}{\sqrt {\pi n}}}.} En noggrannare olikhet är
( 2 n n ) = 4 n π n ( 1 − c n n ) där 1 9 < c n < 1 8 {\displaystyle {2n \choose n}={\frac {4^{n}}{\sqrt {\pi n}}}\left(1-{\frac {c_{n}}{n}}\right){\text{ där }}{\frac {1}{9}}<c_{n}<{\frac {1}{8}}} n ≥ 1. {\displaystyle n\geq 1.} Ett gränsvärde är
lim n → ∞ ( ( 2 n n ) ( 4 n π n ) − 1 ) = 1 {\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }\left({2n \choose n}\left({\frac {4^{n}}{\sqrt {\pi n}}}\right)^{-1}\right)=1} Samband mellan binomialkoefficienter
redigera
Ett stort antal samband mellan centrala binomialkoefficienter samt mellan centrala binomialkoefficienter och andra binomialkoefficienter kan härledas. Några exempel är:
A n = 4 n − 2 n A n − 1 {\displaystyle A_{n}={\frac {4n-2}{n}}A_{n-1}} A n = ∑ k = 0 n ( n k ) 2 {\displaystyle A_{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}^{2}} ∑ r = 0 n A r = ∑ i + j + k = n ( i + j i ) ( j + k j ) ( k + i k ) {\displaystyle \sum _{r=0}^{n}A_{r}=\sum _{i+j+k=n}{i+j \choose i}{j+k \choose j}{k+i \choose k}} Listan (Hubbard & Roby) innehåller fler formler av samma typ.
Talteoretiska egenskaper
redigera
Paul Erdős och Ronald Graham formulerade 1980 en förmodan att den centrala binomialkoefficienten A n {\displaystyle A_{n}} kvadratfri för n > 4. Ett fullständigt bevis gavs 1996 av A. Granville och O. Ramare.
Wolstenholmes sats kan användas för att visa att
A p ≡ 2 mod p 3 {\displaystyle A_{p}\equiv 2\mod p^{3}} för alla primtal p > 3.
Genererande funktion
redigera
De centrala binomialkoefficienterna har den genererande funktionen
1 1 − 4 x = 1 + 2 x + 6 x 2 + 20 x 3 + 70 x 4 + 252 x 5 + ⋯ . {\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {1-4x}}}=1+2x+6x^{2}+20x^{3}+70x^{4}+252x^{5}+\cdots .} Generalisering till komplexa tal
redigera
Gammafunktionen kan användas för att utvidga definitionen till komplexa tal z enligt
A z = Γ ( 2 z + 1 ) Γ ( z + 1 ) 2 {\displaystyle A_{z}={\frac {\Gamma (2z+1)}{\Gamma (z+1)^{2}}}} De centrala binomialkoefficienterna ges även av integralen
A z = 2 2 z + 1 π ∫ 0 ∞ 1 ( x 2 + 1 ) z + 1 d x . {\displaystyle A_{z}={\frac {2^{2z+1}}{\pi }}\int _{0}^{\infty }{\frac {1}{(x^{2}+1)^{z+1}}}dx.} Serier av inversa centrala binomialkoefficienter
redigera
I allmänhet är
S ( k ) ≡ 2 ∑ n = 1 ∞ 1 n k A n = k + 1 F k ( 1 , … , 1 ; ⏟ k + 1 3 2 , 2 , … , 2 ; ⏟ k − 1 1 4 ) {\displaystyle S(k)\equiv 2\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{k}A_{n}}}={\,_{k+1}F_{k}}\left({\begin{matrix}\\\underbrace {1,\ldots ,1;} \\k+1\end{matrix}}\;\;{\frac {3}{2}},\;\;{\begin{matrix}\\\underbrace {2,\ldots ,2;} \\k-1\end{matrix}}\;\;{\frac {1}{4}}\right)} där p F q hypergeometrisk funktion . Som specialfall gäller exempelvis
S ( 0 ) = 2 π 3 + 9 27 {\displaystyle S(0)={\frac {2\pi {\sqrt {3}}+9}{27}}} S ( 1 ) = π 3 9 {\displaystyle S(1)={\frac {\pi {\sqrt {3}}}{9}}} S ( 2 ) = ζ ( 2 ) 3 = π 2 18 {\displaystyle S(2)={\frac {\zeta (2)}{3}}={\frac {\pi ^{2}}{18}}} S ( 3 ) = π 3 ( ψ 1 ( 1 / 3 ) − ψ 1 ( 2 / 3 ) ) 18 − 4 ζ ( 3 ) 3 {\displaystyle S(3)={\frac {\pi {\sqrt {3}}\left(\psi _{1}(1/3)-\psi _{1}(2/3)\right)}{18}}-{\frac {4\zeta (3)}{3}}} S ( 4 ) = 17 3240 π 4 {\displaystyle S(4)={\frac {17}{3240}}\pi ^{4}} S ( 5 ) = 1 432 π 3 ( ψ 3 ( 1 3 ) − ψ 3 ( 2 3 ) ) − 19 3 ζ ( 5 ) + 1 9 ζ ( 3 ) π 2 {\displaystyle S(5)={\frac {1}{432}}\pi {\sqrt {3}}\left(\psi _{3}({\tfrac {1}{3}})-\psi _{3}({\tfrac {2}{3}})\right)-{\frac {19}{3}}\zeta (5)+{\frac {1}{9}}\zeta (3)\pi ^{2}} Riemanns zetafunktion och ψ n polygammafunktionen . Fler sådana summor ges av Weisstein.
En analogisk serie är
∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n n k ( 2 n n ) = 1 2 ⋅ k + 1 F k ( 1 , … , 1 ⏟ k + 1 ; 3 2 , 2 , … , 2 ⏟ k − 1 ; − 1 4 ) . {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n^{k}{\binom {2n}{n}}}}={\frac {1}{2}}\,\cdot \,{}_{k+1}F_{k}\left(\underbrace {1,\ldots ,1} _{k+1};{\tfrac {3}{2}},\underbrace {2,\ldots ,2} _{k-1};{\tfrac {-1}{4}}\right).} Några specialfall av den är
∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n ( 2 n n ) = 1 25 ( 5 + 4 5 ⋅ a r c c s c h ( 2 ) ) = 0,372 16357638560161555577 … ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n n ( 2 n n ) = 2 5 5 ⋅ a r c c s c h ( 2 ) = 0,430 408940964 … ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n n 2 ( 2 n n ) = 2 ( a r c c s c h ( 2 ) ) 2 = 0,463 129641154 … ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n n 3 ( 2 n n ) = 2 5 ζ ( 39 ) = 0,480 82276126 … {\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{\binom {2n}{n}}}&={\frac {1}{25}}\left(5+4{\sqrt {5}}\cdot \mathrm {arccsch} (2)\right)&=&\,0{,}37216357638560161555577\ldots \\\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n{\binom {2n}{n}}}}&={\frac {2}{5}}{\sqrt {5}}\cdot \mathrm {arccsch} (2)&=&\;0{,}430408940964\ldots \\\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n^{2}{\binom {2n}{n}}}}&=2\left(\mathrm {arccsch} (2)\right)^{2}&=&\;0{,}463129641154\ldots \\\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n^{3}{\binom {2n}{n}}}}&={\frac {2}{5}}\zeta (39)&=&\;0{,}48082276126\ldots \end{aligned}}} 
