Carlemans olikhet

Carlemans olikhet är en matematisk olikhet namngiven efter Torsten Carleman, som var den förste att publicera olikheten 1923.

Låt $a_{1},a_{2},...$ vara en följd av icke-negativa reella tal. Då gäller det att

$\sum _{n=1}^{\infty }(a_{1}...a_{n})^{\frac {1}{n}}\leq e\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}.$

Konstanten $e$ i olikheten är den bästa möjliga; för mindre konstanter gäller inte olikheten. Om $a_{1},a_{2}...$ är positiva istället för icke-negativa är olikheten strikt.

Bevis

Utgå från Hardys olikhet:

$\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {1}{k}}\sum _{k=1}^{n}a_{k}\right)^{p}<\left({\frac {p}{p-1}}\right)^{p}\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}^{p}$

ta den inre summan i vänsterledet, ersätt $a_{k}$ med $a_{k}^{\frac {1}{p}}$ och skriv om på följande sätt:

$\left({\frac {1}{k}}\sum _{k=1}^{n}a_{k}^{\frac {1}{p}}\right)^{p}=\exp {\frac {1}{p}}\left(\ln \sum _{k=1}^{n}a_{k}^{\frac {1}{p}}-\ln \sum _{k=1}^{n}a_{k}^{0}\right)$

Låt $p\to \infty$ och skriv om exponenten som en derivata av den nya variabeln x, som här är noll:

$\lim _{p\to \infty }\exp {\frac {1}{p}}\left(\ln \sum _{k=1}^{n}a_{k}^{\frac {1}{p}}-\ln \sum _{k=1}^{n}a_{k}^{0}\right)=\exp \left(\left[{\frac {d}{dx}}(\ln \sum _{k=1}^{n}a_{k}^{x})\right]_{x=0}\right)=\exp \left(\left[{\frac {\sum _{k=1}^{n}a_{k}^{x}\ln a_{k}}{\sum _{k=1}^{n}a_{k}^{x}}}\right]_{x=0}\right)$

Applicera nu $x=0$ då man får:

$\exp \left(\left[{\frac {\sum _{k=1}^{n}a_{k}^{x}\ln a_{k}}{\sum _{k=1}^{n}a_{k}^{x}}}\right]_{x=0}\right)=\exp \left({\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}\ln a_{k}\right)=\left(\prod _{k=1}^{n}a_{k}\right)^{\frac {1}{n}}.$

Betrakta nu högerledet i Hardys olikhet och utför samma steg, ersätt $a_{k}\,$ med $a_{k}^{\frac {1}{p}}$ och låt p gå mot oändligheten

$\lim _{p\to \infty }\left({\frac {p}{p-1}}\right)^{p}\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}=e\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$

detta ger oss den icke-strikta varianten av Carlemans olikhet:

$\sum _{n=1}^{\infty }\left(\prod _{k=1}^{n}a_{k}\right)^{\frac {1}{n}}\leq e\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$

Referenser

• Maria Johansson, Lars-Erik Persson, Anna Wedestig (2003). ”Carleman's inequality - history, proofs and som new generalizations”. Journal of Inequalities in Pure and Applied Mathematics 4 (3). Läst 10 februari 2009.