Binet–Cauchys identitet

Binet–Cauchys identitet, uppkallad efter Jacques Philippe Marie Binet och Augustin Louis Cauchy, är inom algebran identiteten

${\biggl (}\sum _{i=1}^{n}a_{i}c_{i}{\biggr )}{\biggl (}\sum _{j=1}^{n}b_{j}d_{j}{\biggr )}={\biggl (}\sum _{i=1}^{n}a_{i}d_{i}{\biggr )}{\biggl (}\sum _{j=1}^{n}b_{j}c_{j}{\biggr )}+\sum _{1\leq i<j\leq n}(a_{i}b_{j}-a_{j}b_{i})(c_{i}d_{j}-c_{j}d_{i})$

som gäller för alla komplexa tal (eller mera generellt, alla element tillhörande en kommutativ ring). Om a_i = c_i och b_j = d_j, ger sambandet Lagranges identitet, vilken är en allmännare version av Cauchy–Schwarz olikhet för det euklidiska rummet $\mathbb {R} ^{n}$.

Bevis

Expandering av den sista termen:

$\sum _{1\leq i<j\leq n}(a_{i}b_{j}-a_{j}b_{i})(c_{i}d_{j}-c_{j}d_{i})$

$=\sum _{1\leq i<j\leq n}(a_{i}c_{i}b_{j}d_{j}+a_{j}c_{j}b_{i}d_{i})+\sum _{i=1}^{n}a_{i}c_{i}b_{i}d_{i}-\sum _{1\leq i<j\leq n}(a_{i}d_{i}b_{j}c_{j}+a_{j}d_{j}b_{i}c_{i})-\sum _{i=1}^{n}a_{i}d_{i}b_{i}c_{i}$

där den andra och fjärde termen tillagts för bildandet av summan

$=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}a_{i}c_{i}b_{j}d_{j}-\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}a_{i}d_{i}b_{j}c_{j}.$

vilken gör beviset fullständigt efter att termerna indexerade med i faktoriserats ut.

Referenser

Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, Binet–Cauchy identity, 27 januari 2014.