Serierepresentationer
redigera
Flera kända matematiker, såsom Euler och Ramanujan , har hittat ett flertal serier för Apérys konstant. Följande är en av Eulers formler:[ 2]
ζ ( 3 ) = π 2 7 [ 1 − 4 ∑ k = 1 ∞ ζ ( 2 k ) ( 2 k + 1 ) ( 2 k + 2 ) 2 2 k ] {\displaystyle \zeta (3)={\frac {\pi ^{2}}{7}}\left[1-4\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\zeta (2k)}{(2k+1)(2k+2)2^{2k}}}\right]} ζ ( 3 ) = 7 180 π 3 − 2 ∑ k = 1 ∞ 1 k 3 ( e 2 π k − 1 ) {\displaystyle \zeta (3)={\frac {7}{180}}\pi ^{3}-2\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{3}(e^{2\pi k}-1)}}}
ζ ( 3 ) = 14 ∑ k = 1 ∞ 1 k 3 sinh ( π k ) − 11 2 ∑ k = 1 ∞ 1 k 3 ( e 2 π k − 1 ) − 7 2 ∑ k = 1 ∞ 1 k 3 ( e 2 π k + 1 ) . {\displaystyle \zeta (3)=14\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{3}\sinh(\pi k)}}-{\frac {11}{2}}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{3}(e^{2\pi k}-1)}}-{\frac {7}{2}}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{3}(e^{2\pi k}+1)}}.} [ 3]
ζ ( 3 ) = 8 7 ∑ k = 0 ∞ 1 ( 2 k + 1 ) 3 {\displaystyle \zeta (3)={\frac {8}{7}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{(2k+1)^{3}}}} ζ ( 3 ) = 4 3 ∑ k = 0 ∞ ( − 1 ) k ( k + 1 ) 3 {\displaystyle \zeta (3)={\frac {4}{3}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{(k+1)^{3}}}} ζ ( 3 ) = 1 2 ∑ k = 1 ∞ H k k 2 {\displaystyle \zeta (3)={\tfrac {1}{2}}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {H_{k}}{k^{2}}}\;} ζ ( 3 ) = 1 2 ∑ j = 1 ∞ ∑ k = 1 ∞ 1 j k ( j + k ) {\displaystyle \zeta (3)={\tfrac {1}{2}}\sum _{j=1}^{\infty }\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{jk(j+k)}}\;} ζ ( 3 ) = 5 2 ∑ k = 1 ∞ ( − 1 ) k − 1 k ! 2 k 3 ( 2 k ) ! {\displaystyle \zeta (3)={\frac {5}{2}}\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k-1}{\frac {k!^{2}}{k^{3}(2k)!}}} [ 4] [ 5] [ 6] ζ ( 3 ) = 1 4 ∑ k = 1 ∞ ( − 1 ) k − 1 56 k 2 − 32 k + 5 ( 2 k − 1 ) 2 ( k − 1 ) ! 3 ( 3 k ) ! {\displaystyle \zeta (3)={\frac {1}{4}}\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k-1}{\frac {56k^{2}-32k+5}{(2k-1)^{2}}}{\frac {(k-1)!^{3}}{(3k)!}}} ζ ( 3 ) = 8 7 − 8 7 ∑ k = 1 ∞ ( − 1 ) k 2 − 5 + 12 k k ( − 3 + 9 k + 148 k 2 − 432 k 3 − 2688 k 4 + 7168 k 5 ) k ! 3 ( − 1 + 2 k ) ! 6 ( − 1 + 2 k ) 3 ( 3 k ) ! ( 1 + 4 k ) ! 3 {\displaystyle \zeta (3)={\frac {8}{7}}-{\frac {8}{7}}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {{\left(-1\right)}^{k}\,2^{-5+12\,k}\,k\,\left(-3+9\,k+148\,k^{2}-432\,k^{3}-2688\,k^{4}+7168\,k^{5}\right)\,{k!}^{3}\,{\left(-1+2\,k\right)!}^{6}}{{\left(-1+2\,k\right)}^{3}\,\left(3\,k\right)!\,{\left(1+4\,k\right)!}^{3}}}} ζ ( 3 ) = ∑ k = 0 ∞ ( − 1 ) k 205 k 2 + 250 k + 77 64 k ! 10 ( 2 k + 1 ) ! 5 {\displaystyle \zeta (3)=\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {205k^{2}+250k+77}{64}}{\frac {k!^{10}}{(2k+1)!^{5}}}} ζ ( 3 ) = ∑ k = 0 ∞ ( − 1 ) k P ( k ) 24 ( ( 2 k + 1 ) ! ( 2 k ) ! k ! ) 3 ( 3 k + 2 ) ! ( 4 k + 3 ) ! 3 {\displaystyle \zeta (3)=\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {P(k)}{24}}{\frac {((2k+1)!(2k)!k!)^{3}}{(3k+2)!(4k+3)!^{3}}}} där
P ( k ) = 126392 k 5 + 412708 k 4 + 531578 k 3 + 336367 k 2 + 104000 k + 12463. {\displaystyle P(k)=126392k^{5}+412708k^{4}+531578k^{3}+336367k^{2}+104000k+12463.\,} En snabbt konvergerande serie av Tewodros Amdeberhan och Doron Zeilberger (1997):
ζ ( 3 ) = 1 24 ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n A ( n ) ⋅ ( 2 n + 1 ) ! 3 ⋅ ( 2 n ) ! 3 ⋅ n ! 3 ( 3 n + 2 ) ! ⋅ ( 4 n + 3 ) ! 3 {\displaystyle \zeta (3)={\frac {1}{24}}\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {A(n)\cdot (2n+1)!^{3}\cdot (2n)!^{3}\cdot n!^{3}}{(3n+2)!\cdot (4n+3)!^{3}}}} där A ( n ) = 126392 n 5 + 412708 n 4 + 531578 n 3 + 336367 n 2 + 104000 n + 12463 {\displaystyle A(n)=126392n^{5}+412708n^{4}+531578n^{3}+336367n^{2}+104000n+12463} .
En serie av Srinivasa Aiyangar Ramanujan :[ 7]
ζ ( 3 ) = 7 π 3 180 − 2 ∑ n = 1 ∞ 1 n 3 ( e 2 π n − 1 ) . {\displaystyle \zeta (3)={\frac {7\pi ^{3}}{180}}-2\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{3}(e^{2\pi n}-1)}}.} Simon Plouffe har utvecklat liknande serier:
ζ ( 3 ) = π 3 28 + 16 7 ∑ n = 1 ∞ 1 n 3 ( e π n + 1 ) − 2 7 ∑ n = 1 ∞ 1 n 3 ( e 2 π n + 1 ) {\displaystyle \zeta (3)={\frac {\pi ^{3}}{28}}+{\frac {16}{7}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{3}(e^{\pi n}+1)}}-{\frac {2}{7}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{3}(e^{2\pi n}+1)}}} ζ ( 3 ) = 28 ∑ n = 1 ∞ 1 n 3 ( e π n − 1 ) − 37 ∑ n = 1 ∞ 1 n 3 ( e 2 π n − 1 ) + 7 ∑ n = 1 ∞ 1 n 3 ( e 4 π n − 1 ) . {\displaystyle \zeta (3)=28\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{3}(e^{\pi n}-1)}}-37\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{3}(e^{2\pi n}-1)}}+7\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{3}(e^{4\pi n}-1)}}.} Integralrepresentationer
redigera
Apérys konstant kan uttryckas med hjälp av tetragammafunktionen :
ζ ( 3 ) = − 1 2 ψ ( 2 ) ( 1 ) . {\displaystyle \zeta (3)=-{\frac {1}{2}}\,\psi ^{(2)}(1).} Den är också ett specialfall av trilogaritmen :
ζ ( 3 ) = L i 3 ( 1 ) . {\displaystyle \zeta (3)=\mathrm {Li} _{3}(1){\frac {}{}}.} En intressant oändlig produkt över primtalen är
ζ ( 3 ) = ∏ p p r i m t a l 1 1 − p − 3 . {\displaystyle \zeta (3)=\prod _{p\ \mathrm {primtal} }{\frac {1}{1-p^{-3}}}.}
Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia , Apéry's constant , 1 november 2013 . Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från ryskspråkiga Wikipedia , Постоянная Апери , 5 november 2013 . Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från japanskspråkiga Wikipedia , アペリーの定数 , 5 november 2013 . Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från tyskspråkiga Wikipedia , Apéry-Konstante , 25 november 2013 .
^ Wedeniwski, Sebastian (2001). Simon Plouffe. red. The Value of Zeta(3) to 1,000,000 places . Project Gutenberg. http://www.gutenberg.org/cache/epub/2583/pg2583.html
^ Euler, Leonhard (1773). ”Exercitationes analyticae” (på latin). Novi Commentarii Academiae Scientiarum Petropolitanae 17: sid. 173–204. http://math.dartmouth.edu/~euler/docs/originals/E432.pdf . Läst 18 maj 2008 .
^ Plouffe, Simon (1998). ”Identities inspired from Ramanujan Notebooks II” . Arkiverad från originalet den 30 januari 2009. https://web.archive.org/web/20090130142844/http://www.lacim.uqam.ca/~plouffe/identities.html . Läst 15 november 2021 .
^ Markov, A. A. (1890). ”Mémoire sur la transformation des séries peu convergentes en séries très convergentes”. Mém. De l'Acad. Imp. Sci. De St. Pétersbourg t. XXXVII, No. 9: sid. 18pp.
^ Hjortnaes, M. M. (augusti 1953). ”Overføring av rekken ∑ k = 1 ∞ ( 1 k 3 ) {\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }\left({\frac {1}{k^{3}}}\right)} til et bestemt integral”. Proc. 12th Scandinavian Mathematical Congress . Lund, Sweden: Scandinavian Mathematical Society. sid. 211–213
^ Apéry, Roger (1979). ”Irrationalité de ζ 2 {\displaystyle \zeta 2} et ζ 3 {\displaystyle \zeta 3} ” . Astérisque 61: sid. 11–13. http://www.numdam.org/item/AST_1979__61__11_0/ .
^ Berndt, Bruce C. (1989). Ramanujan's notebooks, Part II . Springer