Agmons olikheter

Agmons olikheter, uppkallade efter Shmuel Agmon, är två nära relaterade olikheter som är användbara inom teorin av partiella differentialekvationer.

Låt $u\in H^{2}(\Omega )\cap H_{0}^{1}(\Omega )$ där $\Omega \subset \mathbb {R} ^{3}$. Då säger Agmons olikheter i tre dimensioner att det finns en konstant $C$ så att

$\displaystyle \|u\|_{L^{\infty }(\Omega )}\leq C\|u\|_{H^{1}(\Omega )}^{1/2}\|u\|_{H^{2}(\Omega )}^{1/2},$

och

$\displaystyle \|u\|_{L^{\infty }(\Omega )}\leq C\|u\|_{L^{2}(\Omega )}^{1/4}\|u\|_{H^{2}(\Omega )}^{3/4}.$

I två dimensioner gäller fortfarande den första olikheten, men inte den andra: låt $u\in H^{2}(\Omega )\cap H_{0}^{1}(\Omega )$ där $\Omega \subset \mathbb {R} ^{2}$. Då säger Agmons olikhet i två dimensioner att det finns en konstant $C$ så att

$\displaystyle \|u\|_{L^{\infty }(\Omega )}\leq C\|u\|_{L^{2}(\Omega )}^{1/2}\|u\|_{H^{2}(\Omega )}^{1/2}.$

Referenser

Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, Agmon's inequality, 18 november 2013.